[논문 리뷰] Recursive computation of the invariant distributions of Feller processes: Revisited examples and new applications

Gilles Pagès, Clément Rey|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 평균 회귀 조건 하에서 Feller 과정의 불변 분포를 계산하기 위해 재귀적 확률적 근사 프레임워크를 확장한다. 미르스타인 및 오일러 스킴을 사용하여 다항식 및 지수 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 경험 측도가 불변 분포로 거의 확실히 약한 수렴을 보임을 입증하며, 모멘트 및 기울기 조건 하에서 워샤프스키 거리 수렴과 유계성도 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that the abstract framework developed in Pages & Rey (2017) and inspired by Lamberton & Pages (2002) can be used to build invariant distributions for Brownian diffusion processes using the Milstein scheme and for diffusion processes with censored jump using the Euler scheme. Both studies rely on a weakly mean reverting setting for both cases. For the Milstein scheme we prove the convergence for test functions with polynomial (Wasserstein convergence) and exponential growth. For the Euler scheme of diffusion processes with censored jump we prove the convergence for test functions with polynomial growth.

연구 동기 및 목표

• 절단된 점프를 가진 확산 과정의 불변 분포를 계산하기 위한 재귀적 알고리즘을 개발한다.
• 기존의 [21] 논문에서 제시한 확률적 근사 프레임워크를 비마르코프 및 점프-확산 설정으로 확장한다.
• 약한 평균 회귀 조건 하에서 경험 측도가 불변 분포로 거의 확실히 약한 수렴함을 입증한다.
• 다항식 및 지수 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 워샤프스키 거리 수렴을 확립한다.
• 재귀적 스킴의 유계성과 수렴 속도를 보장하는 조건을 제공한다.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 스텝 크기(γn)를 가진 비동차 이산 마르코프 과정을 사용하여 연속 시간 Feller 과정을 근사한다.
• 가중 경험 측도 νγn = (1/Γn)∑γkδXγΓk−1를 재귀적으로 사용하여 불변 분포의 근사값을 계산한다.
• 확산 과정에 대해 미르스타인 스킴을, 절단된 점프 확산 과정에 대해 오일러 스킴을 적용한다.
• 예를 들어 Bqp(φ), Rp,qp(α,β,φ,V)와 같은 기울기 및 분산 계수 조건을 통해 약한 평균 회귀를 도입한다.
• 편향과 분산을 제어하기 위해 재귀적 마르팅게일 유형의 추론을 사용하는 확률적 근사 이론을 적용한다.
• 통합 가능성과 가중 합의 수렴을 보장하기 위해 커플링 및 모멘트 조건(예: H˜q(φ,V), SWI,γ,η)을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적 확률적 근사 프레임워크는 절단된 점프를 가진 확산 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 약한 평균 회귀 조건 하에서 오일러 스킴의 경험 측도는 거의 확실히 불변 분포로 수렴하는가?
• RQ3 지수 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 워샤프스키 거리 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 모멘트 및 기울기 조건 하에서 경험 측도의 유계성을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ5 다항식 및 지수 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 재귀적 스킴의 수렴 속도는 무엇인가?

주요 결과

• 다항식 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 가중 경험 측도 νγn이 거의 확실히 불변 분포 ν로 수렴한다.
• 미르스타인 스킴의 경우, 지수 성장 성질을 가진 시험 함수에 대해 워샤프스키 거리 수렴이 성립한다.
• LV 조건과 p/s + a − 1 > 0 조건 하에서 (νγn)n∈N∗의 유계성이 확립된다.
• νγ1과 ν 사이의 渐近 분석이 필요 없이도 재귀적 스킴이 수렴함을 보였다.
• 함수 f = Aϕ에 대해 수렴 속도와 극한 정규 분포 법칙이 유도되었으며, [2]의 결과를 확장한다.
• SWI,γ,η 및 SWII,γ,η 가정을 통해 스킴의 안정성에 대한 충분 조건을 제공한다.