[논문 리뷰] Recursive decoding of Reed-Muller codes

Ilya Dumer|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Reed-Muller(RM) 코드를 Plotkin $(u,u+v)$ 구성법을 사용해 더 작은 구성 코드로 분해함으로써, 재귀적 소프트- 및 하드디시전 디코딩 알고리즘을 제안한다. 끝 노드 $\binom{j}{1}$ 및 $\binom{j}{j-1}$에서 재귀적으로 디코딩하면서 확률적 방법을 통해 신뢰도를 재계산함으로써, $O(n\log n)$ 복잡도를 달성하며 near-optimal 오류 수정 성능을 보이며, 중간 및 고율 코드에서 이전 방법보다 뛰어나 $d\ln d/2$ 오류까지 수정할 수 있다.

ABSTRACT

New soft- and hard decision decoding algorithms are presented for general Reed-Muller codes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ of length $2^{m}$ and distance $2^{m-r}$. We use Plotkin $(u,u+v)$ construction and decompose code $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r} ight\} $ onto subblocks $u\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r} ight\} $ and $v\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r-1} ight\} .$ In decoding, we first try to find a subblock $v$ from the better protected code and then proceed with the block $u$. The likelihoods of the received symbols are recalculated in a way similar to belief propagation. Thus, decoding is relegated to the two constituent codes. We repeat this recursion and execute decoding only at the end nodes $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{1} ight\} $ and $\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{j-1} ight\} $. The overall complexity has low order of $n\log n.$ It is shown that this decoding substantially outperforms other algorithms of polynomial complexity known for RM codes. In particular, for medium and high code rates, the algorithm corrects most error patterns of weight $d\ln d/2.$

연구 동기 및 목표

• 기존 다항식 시간 방법보다 개선된 저복잡도 디코딩 알고리즘을 개발하는 것.
• 소프트디시전 지표와 확률적 신뢰도 업데이트를 활용하여 재귀적 디코딩을 경계거리 디코딩을 초월하도록 확장하는 것.
• 특히 짧고 중간 길이의 블록 길이에서 중간 및 고율 RM 코드의 오류수정 성능을 향상시키는 것.
• 제로차수 코드가 아닌 제1차 및 $(j-1)$차 코드에서 종료함으로써 디코딩 종료 규칙을 최적화하여 디코딩 용량을 향상시키는 것.
• 확률적 신뢰도 재계산을 포함한 재귀적 디코딩이 높은 다수결 디코딩 성능에 가까운 성능을 유지하면서도 저복잡도를 유지할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• Plotkin $(u,u+v)$ 구성법을 사용해 RM 코드 $\binom{m}{r}$를 하위 코드 $\binom{m-1}{r}$ 및 $\binom{m-1}{r-1}$로 재귀적으로 분해한다.
• 신뢰도를 belief-propagation 유사 업데이트 방법을 사용해 각 재귀 수준에서 수신 기호의 신뢰도를 재계산하여 소프트 정보를 전파한다.
• 실제 디코딩은 종단 노드 $\binom{j}{1}$ (이중직교 코드) 및 $\binom{j}{j-1}$ (단일 패리티체크 코드)에서만 수행한다.
• Pascal 삼각형의 RM 코드 구조를 활용한 재귀적 디코딩 전략을 적용하며, 루트에서 시작해 종단 노드로 이동한다.
• 가장 보호가 약한 정보 비트(예: 왼쪽 끝 노드에서의 비트)를 0으로 설정하는 제거 기법을 적용하여 하위 코드 성능을 향상시킨다.
• 제곱 유클리드 거리 $\rho^2$ 및 하드디시전 임계값 $t$와 같은 소프트디시전 지표를 사용해 디코딩 용량을 정량화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Reed-Muller 코드의 재귀적 디코딩은 경계거리 디코딩을 초월해 더 많은 오류 패턴을 수정할 수 있는가?
• RQ2 재귀 과정 중 확률적 신뢰도 재보정이 기존 재귀 알고리즘과 비교해 디코딩 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 디코딩 용량과 복잡도 측면에서 재귀적 디코딩의 최적 종료 규칙은 무엇인가?
• RQ4 정보 비트 제거를 통한 하위 코드 최적화가 블록 오류율 성능을 상당히 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 새로운 알고리즘의 오류수정 용량은 다수결 디코딩 및 이전 재귀 방법과 정량적으로 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $O(n\log n)$ 복잡도를 달성하며, 이는 이전 재귀 알고리즘의 $O(n\min(r,m-r))$ 복잡도보다 크게 낮다.
• 중간 및 고율 코드에서 알고리즘은 최대 $d\ln d/2$ 오류 패턴을 수정할 수 있으며, 이는 이전 재귀 알고리즘의 디코딩 용량을 두 배로 늘린다.
• 길이 512인 $\binom{9}{4}$ 코드의 시뮬레이션에서, 신호대역비 4 dB에서 블록 오류율이 $2\times10^{-4}$로 나타나 이전 재귀 및 다수결 디코딩 방법을 능가했다.
• 가장 보호가 약한 정보 비트(왼쪽 끝 노드에서의 비트)를 제거함으로써, 4 dB에서 블록 오류율을 $2\times10^{-4}$로 낮추어 상당한 성능 향상을 보였다.
• 제로차수 코드가 아닌 제1차 및 $(j-1)$차 코드를 종단 노드로 사용함으로써 이전 재귀 알고리즘보다 더 높은 디코딩 용량을 달성할 수 있었다.
• 소프트디시전 성능을 $\rho^2$로 측정한 결과, 고정율 코드에서 다수결 디코딩 및 이전 재귀 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.