[논문 리뷰] Recursive Fermion System in Cuntz Algebra. II -- Endomorphism, Automorphism and Branching of Representation --

Mitsuo Abe, Katsunori Kawamura|ArXiv.org|2002. 07. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 CAR 대수의 *-환원사상과 *-자기동형사를 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_{2^p}$로의 통합을 통해 명시적으로 구성함으로써, Fermi계의 체계적 연구를 가능하게 한다. KMS 상태가 Fock 표현 위에서 작용하는 짝수-CAR 환원사상으로부터 유도됨을 보이며, 입자 수 변화를 허용하면서도 Fock 진공을 유지하는 비선형 *-자기동형사의 일파라미터 군을 규명한다—이것은 비-쿼지프리 동역학을 시사한다.

ABSTRACT

Based on an embedding formula of the CAR algebra into the Cuntz algebra ${\mathcal O}_{2^p}$, properties of the CAR algebra are studied in detail by restricting those of the Cuntz algebra. Various $\ast$-endomorphisms of the Cuntz algebra are explicitly constructed, and transcribed into those of the CAR algebra. In particular, a set of $\ast$-endomorphisms of the CAR algebra into its even subalgebra are constructed. According to branching formulae, which are obtained by composing representations and $\ast$-endomorphisms, it is shown that a KMS state of the CAR algebra is obtained through the above even-CAR endomorphisms from the Fock representation. A $U(2^p)$ action on ${\mathcal O}_{2^p}$ induces $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, which are given by nonlinear transformations expressed in terms of polynomials in generators. It is shown that, among such $\ast$-automorphisms of the CAR algebra, there exists a family of one-parameter groups of $\ast$-automorphisms describing time evolutions of fermions, in which the particle number of the system changes by time while the Fock vacuum is kept invariant.

연구 동기 및 목표

• CAR 대수의 선형이 아닌 적절한 *-환원사상을, 대수의 무한차원성에 착안하여 체계적으로 구성하는 것.
• 이러한 환원사상에 의해 유도되는 표현 분열을 기술함으로써, 기저 표현의 합성과 혼합 상태의 구성이 가능하도록 하는 것.
• Bogoliubov 변환으로서의 외부 *-자기동형사가 아닌 프레임워크를 개발하여, Fermi계에서의 비-쿼지프리 시간 진동수를 드러내는 것.
• Fock 표현을 통해 짝수-CAR 환원사상으로부터 CAR 대수의 KMS 상태를 도출할 수 있음을 보이는 것.
• 입자 수 변화를 허용하면서도 Fock 진공을 유지하는 시간 진동수를 묘사하는 일파라미터 군의 *-자기동형사를 규명하는 것.

제안 방법

• RFS(재귀적 Fermi계)를 이용해 CAR 대수를 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_{2^p}$로 통합함으로써, $\mathcal{O}_d$ 대수의 기존 통합 공식을 활용한다.
• 통합과 환원사상 간의 관계를 이용해 $\mathcal{O}_{2^p}$의 명시적 *-환원사상을 구성한 후, 이를 CAR 대수로 제한한다.
• irreducible 순열 표현의 조합과 *-환원사상의 조합을 통해 분열 공식을 유도함으로써, irreducible CAR 표현의 직합을 도출한다.
• Cuntz 대수 $\mathcal{O}_{2^p}$ 위의 $U(2^p)$ 작용을 이용해, 생성/소멸 연산자에 대한 비선형 다항변환을 통한 CAR 대수의 *-자기동형사를 유도한다.
• 이러한 비선형 자기동형사로부터 일파라미터 군의 *-자기동형사를 구성함으로써, Fock 진공을 유지하면서도 시간에 따라 입자 수가 변화하는 것을 보여준다.
• Fock 표현에서의 절단된 $n$-점 함수를 계산하여, 선형 동역학을 초월한 비정상적인 상관 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CAR 대수의 적절한 *-환원사상은 선형(Bogoliubov) 변환을 초월하여 체계적으로 구성될 수 있는가? 그리고 Cuntz 대수의 구조와는 어떤 관계가 있는가?
• RQ2 *-환원사상에 의해 유도되는 분열 공식은 어떻게 Fermi계에서 기저 표현의 합성 또는 혼합 상태를 초래하는가?
• RQ3 입자 수 변화를 허용하면서도 Fock 진공을 유지하는 비선형 *-자기동형사의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ4 짝수-CAR 환원사상을 사용하여 Fock 표현에서 CAR 대수의 KMS 상태를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 비정상적인 절단된 $n$-점 함수는 비선형 시간 진동수 하에서 Fermi 입자의 동역학을 어떻게 드러내는가?

주요 결과

• CAR 대수의 짝수 부분대수로의 *-환원사상 집합이 명시적으로 구성되었으며, 이러한 사상들이 전사적이지 않으며 비선형임을 보였다.
• Fock 표현과 짝수-CAR 환원사상을 조합함으로써, CAR 대수의 KMS 상태를 도출하였으며, 이는 환원사상과 열평형 상태 사이의 연결 고리를 확인한다.
• Fock 진공을 유지하지만 시간에 따라 입자 수가 변화하는 시간 진동수를 묘사하는 일파라미터 군의 *-자기동형사를 규명하였다.
• 시간 진동수가 비선형임을 입증하기 위해, 비영인 절단된 4점 및 고차 상관 함수가 존재함을 확인하였으며, 이는 시스템이 (준)자유가 아님을 시사한다.
• 예를 들어, $\omega_{\rm T}(a_1(t_1)a_2(t_2)a_1^*(t_3)a_2^*(t_4)) = \sin(\theta_2 - \theta_3)\sin(\theta_3 - \theta_4)$와 같은 절단된 4점 함수는 가우시안 통계를 초월하는 비정상적인 상관관계를 드러낸다.
• 비영인 절단된 5점 및 6점 함수가 존재함을 확인하여, 비선형 시간 진동수 하에서 고차 상관관계의 존재를 확인하였다.