[논문 리뷰] Recursive quantum algorithm to find the lowest eigenstate of a general Hamiltonian

Jeongho Bang, Seung-Woo Lee외 3명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 임의의 초기 상태에서 최저 고유상태 성분을 반복적으로 증폭시키기 위해 보조 큐비트를 사용하는 재귀 양자 알고리즘을 제안한다. 이는 임의의 해밀토니안에 대해 기저 상태를 충실하게 준비할 수 있게 하며, 수렴에 필요한 총 반복 횟수는 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹)로 스케일링된다. 여기서 D는 에너지 갭이고 ε는 오차 확률이다.

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm to obtain the lowest eigenstate of any Hamiltonian simulated by a quantum computer. The proposed algorithm begins with an arbitrary initial state of the simulated system. A finite series of transforms is iteratively applied to the initial state assisted with an ancillary qubit. The fraction of the lowest eigenstate in the initial state is then amplified up to $\simeq 1$. We prove that our algorithm can faithfully work for any arbitrary Hamiltonian in the theoretical analysis. Numerical analyses are also carried out. We firstly provide a numerical proof-of-principle demonstration with a simple Hamiltonian in order to compare our scheme with the so-called Demon-like algorithmic (DLAC), recently proposed in [Nature Photonics 8, 113 (2014)]. The result shows a good agreement with our theoretical analysis, exhibiting the comparable behavior to the best cooling with the DLAC method. We then consider a random Hamiltonian model for further analysis of our algorithm. By numerical simulations, we show that the total number $n_c$ of iterations is proportional to $\simeq {\cal O}(D^{-1}\epsilon^{-0.19})$, where $D$ is the difference between the two lowest eigenvalues, and $\epsilon$ is an error defined as the probability that the finally obtained system state is in an unexpected (i.e. not the lowest) eigenstate.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼에 대한 사전 지식이 없이도 임의의 해밀토니안의 최저 고유상태를 준비할 수 있는 보편적인 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 기존 방법들인 데모닉 유사 알고리즘 냉각(DLAC)과 같은 제한을 극복하여 일반 해밀토니안에 대해 더 넓은 적용 가능성을 확보하는 것.
• 단일 보조 큐비트를 사용해 기저 상태 성분을 반복적으로 증폭시켜 고정밀 기저 상태 준비를 달성하는 것.
• 이론적 및 수치적 방법을 통해 알고리즘의 수렴 행동과 에너지 갭 D 및 오차 ε에 대한 스케일링을 검증하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 시스템 큐비트의 임의의 초기 양자 상태와 보조 큐비트를 초위상 상태로 준비함으로써 시작된다.
• 제어된 유니터리 연산의 시퀀스가 적용되어 시스템과 보조 큐비트를 얽히게 하고, 측정 및 피드백을 통해 기저 상태 성분에 투영한다.
• 이 과정은 반복적으로 반복되며, 각 사이클에서 에너지 갭 D에 따라 의존하는 재귀적 변환을 통해 최저 고유상태의 진폭이 증폭된다.
• 핵심 변환은 시스템 상태의 에너지에 따라 조건부 위상 반전을 수행하며, 이는 U가 시간 진동 연산자인 제어-유니터리 연산을 통해 구현된다.
• 알고리즘은 재귀적 구조를 사용해 기저 상태 진폭을 향상시키며, 각 반복이 목표 상태와의 오버랩을 증가시킨다.
• 이론적 분석은 임의의 해밀토니안에 대해 기저 상태로의 수렴을 증명하고, 수치 시뮬레이션은 스케일링 행동을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 지식 없이도 재귀 양자 알고리즘이 임의의 해밀토니안의 기저 상태를 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ2 두 최저 고유상태 사이의 에너지 갭 D에 따라 알고리즘의 수렴 속도는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 최종 상태 허용도에 대한 목표 오차 ε과 반복 횟수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 간단한 모델 해밀토니안에 대해 알고리즘이 데모닉 유사 알고리즘 냉각(DLAC) 방법과 성능 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 랜덤 해밀토니안에 대해 총 반복 횟수의 수치적 스케일링 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 수치 시뮬레이션을 통해 단순 모델 해밀토니안에 대해 알고리즘이 고정밀도로 최저 고유상태를 성공적으로 준비함을 확인하였다.
• 단순 모델에서 알고리즘은 데모닉 유사 알고리즘 냉각(DLAC) 방법의 최고 성능과 유사한 수렴 행동을 보였다.
• 랜덤 해밀토니안에 대한 수치 시뮬레이션 결과, 총 반복 횟수 𝑛𝑐는 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹)로 스케일링되며, 여기서 D는 에너지 갭이고 ε는 오차 확률이다.
• ε⁻⁰.¹⁹의 스케일링 지수는 최적은 아니지만 실현 가능한 수렴 속도를 나타내며, 향후 최적화의 잠재력이 있음을 시사한다.
• 다양한 해밀토니안 구조에서 알고리즘은 정밀도와 수렴성을 유지하며, 일반 해밀토니안에 대한 보편성을 확인한다.
• 이론적 분석은 알고리즘이 스펙트럼 구조에 관계없이 임의의 해밀토니안에 대해 정확히 작동함을 확인한다.