[논문 리뷰] Recursively squeezable sets are squeezable

Fredric D. Ancel|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 06.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 4인용 수 33

한 줄 요약

본 논문은 Compact metric spaces의 부분집합에 대한 squeezability 개념이 일치한다는 것을 보인다: squeezable은 반드시 squashable이며, 재귀적으로 squeezable한 원소들은 uniform upper bound 가정 없이도 shrinkable한 null decomposition을 시사한다.

ABSTRACT

In work by Freedman [F2] and Freedman-Quinn [FQ] on the topology of 4-manifolds, null decompositions whose non-singleton elements are, in the terminology of [MOR], recursively starlike-equivalent sets of filtration length 1 arise and are shown to be shrinkable. The main result of [MOR] is a general theorem covering these types of decompositions. It establishes the shrinkability of null decompositions whose non-singleton elements are recursively starlike-equivalent sets whose filtration lengths have a uniform finite upper bound. That result is the inspiration for this article. Here it is shown that the hypothesis of a uniform finite upper bound on filtration lengths is unnecessary. In outline: notions of squeezable subsets and squashable subsets of a compact metric space are defined. It is observed that starlike-equivalent sets are squeezable, and that any null decomposition of a compact metric space whose non-singleton elements are squeezable is shrinkable. It is also proved that a set is squeezable if and only if it is squashable, and that every recursively squashable set is squashable. It follows that any null decomposition of a compact metric space whose non-singleton elements are recursively squeezable is shrinkable. The latter theorem has as a corollary the main result of [MOR] with the hypothesis of a uniform finite upper bound on filtration lengths removed.

연구 동기 및 목표

• compact metric space의 squeezable 및 squashable 부분집합을 정의한다.
• starlike 등가 집합이 squeezable임을 보인다.
• squeezable인 non-singleton 원소들을 가진 null decomposition이 shrinkable임을 증명한다.
• squeezable한 집합은 반드시 squashable이고, 그 반대도 참임을 확립한다.
• 재귀적으로 squeezable한 원소들은 squashable임을 도출하고, 이를 기존 정리에 uniform bound 가정 제거에 적용한다.

제안 방법

• squeezable 및 squashable 부분집합의 개념을 도입하고 비교한다.
• starlike-equivalent 집합이 squeezable임을 보인다.
• squeezable인 non-singleton 원소를 가지는 null decomposition이 shrinkable임을 보인다.
• 어떤 집합은 squeezable이면 squashable이고 그 반대도 참임을 보인다.
• 모든 재귀적으로 squashable한 집합은 squashable임을 보인다.
• 이 결과를 null decomposition에 적용하여 filtration lengths에 대한 유한 상한이 없는 경우에도 MOR 유형의 결론을 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 squeezable와 squashable 집합 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 filtration lengths에 대한 uniform finite upper bound가 제거될 때 알려진 shrinkability 결과가 확장되는가?
• RQ3 재귀적으로 squeezable한 집합은 반드시 squashable한가, 그리고 이것이 null decompositions에 어떤 함의를 가지는가?

주요 결과

• squeezable와 squashable 집합은 동등한 개념이다.
• starlike-equivalent 집합은 squeezable이다.
• compact metric space의 non-singleton 원소를 가지는 null decomposition이 squeezable일 때 shrinkable이다.
• 집합은 squeezable이면 squashable이고, 그 역도 참이다.
• 모든 재귀적으로 squashable한 집합은 squashable이다.
• filtration lengths의 uniform finite upper bound를 제거해도 대응하는 null decompositions에 대한 shrinkability 결론이 보존된다.