[논문 리뷰] Reduced free products of unital AH algebras and Blackadar and Kirchberg's MF algebras

Don Hadwin, Jiankui Li외 2명|ArXiv.org|2008. 12. 01.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유일한 항등원을 가진 AH C*-대수의 감소 자유곱이 충실한 추적 상태에 대해 MF 대수임을 증명한다. 이는 Haagerup과 Thorbjørnsen의 $C_r^*(F_2)$에 대한 결과를 일반화한다. Avitzour의 조건(영인자를 가진 유니터리가 존재함)이 성립할 경우, 이러한 자유곱의 BDF 확장 준군은 군이 아니며, 이는 비준거적임을 보여주는 큰 범주를 제공한다.

ABSTRACT

In the paper, we prove that reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, in the sense of Voiculescu, are Blackadar and Kirhcberg's MF algebras. We also show that the reduced free products of unital AH algebras with respect to given faithful tracial states, under mild conditions, are not quasidiagonal. Therefore we conclude, for a large class of AH algebras, the Brown-Douglas-Fillmore extension semigroups of the reduced free products of these AH algebras with respect to given faithful tracial states are not groups. Our result is based on Haagerup and Thorbjørsen's work on the reduced C$^*$-algebras of free groups.

연구 동기 및 목표

• Haagerup과 Thorbjørnsen의 결과인 $Ext(C_r^*(F_2))$가 군이 아니라는 것을 더 넓은 범주의 C*-대수로 일반화하기 위해.
• 유일한 항등원을 가진 AH 대수의 충실한 추적 상태에 대한 감소 자유곱이 언제 MF 대수인지 조사하기 위해.
• 그러한 자유곱의 BDF 확장 준군이 군이 아닐 조건을 규명하기 위해.
• 자유곱 구조를 통해 비준거적 C*-대수의 이해를 확장하기 위해.

제안 방법

• 유일한 항등원을 가진 C*-대수와 충실한 추적 상태에 대해 Voiculescu의 감소 자유곱 구조를 사용하기 위해.
• Haagerup과 Thorbjørnsen의 $C_r^*(F_2)$에 대한 결과를 모델로 삼고, 초수체의 행렬 대수에의 임베딩을 활용하기 위해.
• Avitzour의 조건 하에서 유일한 항등원을 가진 AH 대수의 감소 자유곱이 MF 대수임을 증명하기 위해.
• 행렬 대수 위의 군 작용을 이용해 자유곱 대수의 교차곱에 대한 C*-대수 임베딩을 구성하기 위해.
• 만약 C*-대수가 MF 대수이지만 준거적이지 않다면, 그 BDF 확장 준군은 군이 아니라는 사실을 활용하기 위해.
• MF 성질이 최소 텐서곱과 $C_r^*(F_n)$과의 자유곱에 대해 안정적이라는 점을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유일한 항등원을 가진 AH 대수의 충실한 추적 상태에 대한 감소 자유곱이 언제 MF 대수인가?
• RQ2 그러한 자유곱의 BDF 확장 준군이 언제 군이 아닐까?
• RQ3 Avitzour의 조건(영인자를 가진 유니터리가 존재함)을 사용하여 자유곱의 비준거적성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 MF 성질이 $C_r^*(F_n)$과 유일한 항등원을 가진 AH 대수를 포함하는 자유곱에 대해 유지되는가?
• RQ5 감소 자유곱의 구조를 이용해 비준거적 C*-대수이자 비군인 BDF 준군을 갖는 새로운 예를 만들 수 있는가?

주요 결과

• 유일한 항등원을 가진 AH 대수의 충실한 추적 상태에 대한 감소 자유곱은 MF 대수이다.
• 만약 Avitzour의 조건이 성립한다면 — 즉, 각 대수에 영인자를 가진 유니터리가 존재한다면 — 자유곱의 BDF 확장 준군은 군이 아니다.
• 동일한 조건 하에서 자유곱은 준거적이지 않으며, 이는 MF 대수이지만 여전히 준거적이지 않음을 의미한다.
• 이 구성은 Haagerup과 Thorbjørnsen의 결과를 일반화한다: $Ext(C_r^*(F_2))$는 군이 아니다.
• $C_r^*(F_n)$과 충실한 추적 상태를 가진 유일한 항등원을 가진 AH 대수의 자유곱은 MF 대수이다.
• 유일한 항등원을 가진 AF 대수 $\mathcal{B}_i$와 충실한 추적 상태에 대해, 자유곱 $\big((\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_0, \psi \otimes_{\min} \phi_0) *_{\text{red}} \cdots *_{\text{red}} (\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{B}_n, \psi \otimes_{\min} \phi_n)\big)$는 MF 대수이다.