[논문 리뷰] Reduced order models for nonlinear radiative transfer based on moment equations and POD/DMD of Eddington tensor

Joseph M. Coale, Dmitriy Y. Anistratov|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 19.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 55인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 모멘트 방정식과 POD, DMD, DMD-E를 통한 에딩턴 텐서의 데이터 기반 근사화를 사용하여 비선형 열복사 전달을 위한 새로운 유형의 저차원 모델(ROMs)을 제시한다. ROMs는 낮은 질량 표현을 통해 높은 정확도를 달성하며, 질량 증가에 따라 오차 수렴성을 보이며, 보존 법칙을 유지하면서 DMD 변종보다 정확도가 뛰어나다.

ABSTRACT

A new group of reduced-order models (ROMs) for nonlinear thermal radiative transfer (TRT) problems is presented. They are formulated by means of the nonlinear projective approach and data compression techniques. The nonlinear projection is applied to the Boltzmann transport equation (BTE) to derive a hierarchy of low-order moment equations. The Eddington (quasidiffusion) tensor that provides exact closure for the system of moment equations is approximated via one of several data-based methods of model-order reduction. These methods are the (i) proper orthogonal decomposition, (ii) dynamic mode decomposition (DMD), (iii) an equilibrium-subtracted DMD variant. Numerical results are presented to demonstrate the performance of these ROMs for the simulation of evolving radiation and heat waves. Results show these models to be accurate even with very low-rank representations of the Eddington tensor. As the rank of the approximation is increased, the errors of solutions generated by the ROMs gradually decreases.

연구 동기 및 목표

• 비선형 열복사 전달(TRT)을 위한 저차원 모델(ROMs)을 개발하여 계산 효율성은 유지하면서도 높은 정확도를 확보한다.
• 다중 스케일, 다물리적 문제에서 볼츠만 운동 방정식(BTE)을 해결하는 데 소요되는 높은 계산 비용을 해결한다.
• 데이터 기반 차원 축소 기법—POD, DMD, DMD-E—을 활용하여 모멘트 기반 TRT 시스템에서의 에딩턴 텐서를 근사한다.
• 매개변수 기반 ROMs를 구축하여 효율적인 매개변수 샘플링 및 설계 연구를 가능하게 한다.
• 이산화된 모멘트 방정식에서 복사 에너지 및 운동량의 보존을 확보한다.

제안 방법

• 볼츠만 운동 방정식(BTE)의 비선형 투영에서 유도된 저순서 모멘트 방정식을 사용하여 다수준 근사확산(QD) 시스템을 수립한다.
• 그룹 에딩턴 텐서와 스펙트럼 평균 에딩턴 텐서를 사용하여 모멘트 시스템을 닫고, 효과적인 회색 방정식을 도출한다.
• 적절한 차원 축소를 위해 에딩턴 텐서에 대해 정규직교분해(POD), 동적 모드 분해(DMD), 평형 항을 제거한 DMD 변종(DMD-E)을 적용한다.
• 고정밀도 BTE 해의 학습 데이터를 사용하여 전체 위상공간 및 시간 간격에서 에딩턴 텐서의 저질량 근사를 수행한다.
• 복사 에너지 및 운동량의 보존 법칙을 유지하기 위해 보존적 방법을 사용하여 모멘트 방정식을 이산화한다.
• 상대 오차 허용 오차 ξrel을 사용하여 저질량 근사의 질량을 제어함으로써 조절 가능한 정확도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 차원 축소 기법이 비선형 TRT 문제에서 에딩턴 텐서를 최소한의 정확도 손실로 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 POD, DMD, DMD-E 기반 ROM의 정확도는 에딩턴 텐서 근사의 질량이 변화함에 따라 어떻게 비교되는가?
• RQ3 ROM에서 복사 온도 및 에너지의 오차는 상대 오차 허용 오차 ξrel 감소와 함께 선형 수렴하는가?
• RQ4 ROM은 상당한 차원 축소를 달성하면서도 에너지 및 운동량의 보존을 유지할 수 있는가?
• RQ5 DMD 기반 ROM은 저질량 근사에서 수치적 안정성 특성이 어떻게 나타나며, POD 기반 ROM과 비교해 볼 때 어떠한가?

주요 결과

• 모든 테스트된 ξrel 값에서 POD 기반 ROM이 가장 낮은 오차를 지속적으로 기록하여 DMD 및 DMD-E 변종을 모두 압도했다.
• ξrel = 10−2 및 10−4일 때, POD 및 DMD-E 기반 DDET ROM은 최저 질량에서 유사한 정확도를 달성하여 강력한 저질량 성능을 입증했다.
• POD 기반 ROM에서 복사 온도 및 에너지 오차는 ξrel 감소와 함께 선형 수렴을 보이며, 질량 증가에 따른 예측 가능한 오차 감소를 확인했다.
• DMD 기반 ROM은 POD보다 略로 높은 오차를 보였지만, ξrel = 10−10 이하가 되기 전까지는 유사한 수렴 속도를 보였다. 이후 수치 오차가 지배적이 되었다.
• DMD-E 기반 ROM은 저질량에서 수치적 불안정성을 보였으며, ξrel 감소에 따라 오차의 수렴이 관찰되지 않았다.
• 모든 ROM은 저질량에서 온도 및 에너지에 대해 공간적·시간적으로 균일한 오차를 보였으며, 영역 전반에서 일관된 성능을 나타냈다.