[논문 리뷰] Reduced two-type decomposable critical branching processes with possibly infinite variance

Charline Smadi, Vladimir Vatutin|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 26.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무한 분산을 가진 두 유형의 분해 가능 임계 분열 확률과정의 계통수적 구조를 연구하며, 생존 조건 하에서 감소된 과정과 가장 최근 공통 조상(MRCA)의 점점 증가하는 행동을 집중적으로 분석한다. 이는 두 유형 간 공존의 세 가지 구분된 영역을 규명하고, MRCA의 출생 시점과 유형의 극한 분포를 도출하며, 자손 분산이 무한할 경우 MRCA는 일반적으로 유형 2 개체이며, 시간 분포는 무거운 尾를 가지는 것으로 나타난다.

ABSTRACT

We consider a Galton-Watson process $\mathbf{Z}% (n)=(Z_{1}(n),Z_{2}(n))$ with two types of particles. Particles of type 2 may produce offspring of both types while particles of type 1 may produce particles of their own type only. Let $Z_{i}(m,n)$ be the number of particles of type $i$ at time $m

연구 동기 및 목표

• 큰 시간 n에서 생존 조건 하에서 두 유형의 분해 가능 갈톤-워슨 분열 확률과정의 계통수적 구조를 이해하기 위해.
• 시간 m에서 시간 n에 자손이 존재하는 입자를 세는 감소된 과정 Z(m,n)의 점점 증가하는 행동을 특성화하기 위해.
• 다양한 매개수 영역에서 그의 출생 시점 βₙ 과 유형 Tₙ 에 따라 가장 최근 공통 조상(MRCA)의 분포를 규명하기 위해.
• 자손 분산이 무한한 경우 기존의 임계 분열 확률과정 결과를, 유형 1 입자가 오직 유형 1 자손만 생성하는 다유형, 분해 가능 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 자손 분포를 모델링하기 위해 생성함수 F₁(s₁) 과 F₂₁(s₁,s₂) 를 사용하며, 지수 1+α₁ 과 1+α₂ 를 가진 멱법 꼬리를 가정한다.
• 무한 분산을 처리하기 위해 정규 변동 이론과 안정 분포의 영역에 대한 결과를 적용한다.
• Z(n) ≠ 0 조건 하에서 과정을 분석하며, n → ∞ 일 때 점점 증가하는 분석을 통해 Z(m,n) 의 극한 분포를 유도한다.
• 특정 자손 법칙을 가진 연속 시간 마코프 분열 과정으로 수렴함으로써, MRCA의 출생 시점 βₙ 과 유형 Tₙ 의 극한 분포를 도출한다.
• 매개수 α₁, α₂, A₂₁ 에 기반한 세 가지의 명백히 다른 영역을 규명하며, 이는 두 유형 간 다른 공존 패tern을 나타낸다.
• 스토케스틱 커플링과 분포 수렴을 사용하여, 스케일링된 감소된 과정이 특정 점프 역학을 가진 연속 시간 마코프 과정으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자손 분산이 무한하고 과정이 시간 n 에서 생존 조건 하에 있을 때, 두 유형의 분해 가능 임계 분열 확률과정의 계통수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 다양한 매개수 영역에서 가장 최근 공통 조상의 출생 시점과 유형의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 분산이 무한할 경우, 유형 1 과 유형 2 입자가 생존하는 인구에 기여하는 상대적 기여는 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 두 유형의 세 가지 명백한 공존 영역은 무엇이며, 이들은 계통수 트리의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 변이 또는 이동(유형 2 입자가 유형 1 자손을 생성하는 방식으로 모델링됨)이 가장 최근 공통 조상에 도달하는 데 걸리는 시간에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초기 입자가 유형 2 일 경우, MRCA가 유형 2 개체임 확률은 α₂/(1+α₂) 이며, 유형 1 개체임 확률은 1/(1+α₂) 이다.
• α₂ < 1 일 경우, MRCA 출생 시점 βₙ 의 극한 분포는 전체 시간 간격 [0,n] 에 집중되어 있으며, 비퇴화적이고 연속적인 밀도를 가진다.
• α₂ < 1 일 경우, MRCA가 시간 an 이전에 탄생할 확률(여기서 a ∈ (0,1))은 a/(1+α₂) 로 수렴하며, 이는 MRCA 시간의 무거운 꼬리 분포를 나타낸다.
• α₂ = 1 일 경우, MRCA 출생 시점 βₙ 은 매개수 b 와 매개수 σ 에 따라 달라지는 랜덤 변수로 분포 수렴한다.
• 감소된 과정 Z(m,n) 는 특정 자손 법칙을 가진 연속 시간 마코프 분열 과정으로 분포 수렴한다: 확률 1/(1+α₂) 에서 유형 2 개체가 하나의 유형 1 자손과 유형 2 자손 없음을 생성하며, 확률 α₂/(1+α₂) 에서 최소 두 개의 유형 2 자손을 생성한다.
• 생존 확률 Q₂₁(n) 은 n^(-1/α₂) 곱하기 천천히 변화하는 함수로 감소하며, 이는 무한 분산 하에서 과정의 임계성을 확인한다.