[논문 리뷰] Reducibility, differentiable rigidity and Lyapunov exponents for quasi-periodic cocycles on ${\bf T}times SL(2,{\bf R})$

Raphaël Krikorian|ArXiv.org|2004. 02. 20.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 8인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 𝕋 × SL(2,ℝ) 위의 매끄러운 준주기적 코어시클에 대해 비임계 감소 결과를 확립한다: 만약 섬유화된 로테이션 수가 디오판틴이고 섬유화된 곱이 C⁰ 위상에서 균일하게 유계이면, 코어시클은 C∞-감소 가능하다. 이는 매끄러운 위상에서 양의 리아풀로프 지수에 대한 미분적 강성과 C∞-밀도를 의미하며, 슈뢰딩거 코어시클과 2주파수 보존 시스템으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Given $α$ in some set $Σ$ of total (Haar) measure in ${\bf T}={\bf R}/{\bf Z}$, and $A\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ which is homotopic to the identity, we prove that if the fibered rotation number of the skew-product system $(α,A):{\bf T} imes SL(2,{\bf R}) o {\bf T} imes SL(2,{\bf R})$, $(α,A)(θ,y)=(θ+α,A(θ)y)$ is diophantine with respect to $α$ and if the fibered products are uniformly bounded in the $C^0$-topology then the cocycle $(α,A)$ is $C^\infty$-reducible --that is $A(\cdot)=B(\cdot+α)A_0 B(\cdot)^{-1}$, for some $A_0\in SL(2,{\bf R})$, $B\in C^{\infty}({\bf T},SL(2,{\bf R}))$. This result which can be seen as a non-pertubative version of a theorem by L.H. Eliasson has two interesting corollaries: the first one is a result of differentiable rigidity: if $α\inΣ$ and the cocycle $(α,A)$ is $C^0$-conjugated to a constant cocycle $(α,A_0)$ with $A_0$ in a set of total measure in $SL(2,{\bf R})$ then the conjugacy is $C^\infty$; the second consequence is: if $α\in Σ$ is fixed then the set of $A\in C^\infty({\bf T},SL(2,{\bf R}))$ for which $(α,A)$ has positive Lyapunov exponent is $C^\infty$-dense. A similar result is true for the Schrödinger cocycle and for 2-frequencies conservative differential equations in the plane.

연구 동기 및 목표

• 디오판틴 로테이션 수와 균일한 C⁰-유계 조건 하에서, 𝕋 × SL(2,ℝ) 위의 매끄러운 준주기적 코어시클에 대한 비임계 감소 결과를 확립하기.
• 미분적 강성 증명: 만약 코어시클이 전체 측도 집합 내의 매개변수를 갖는 정수 코어시클과 C⁰-동형이면, 그 동형은 C∞이다.
• 고정된 디오판틴 α에 대해, 양의 리아풀로프 지수를 갖는 매끄러운 A의 집합이 C∞(𝕋, SL(2,ℝ))에서 C∞-밀도를 이룬다.
• 이러한 결과들을 슈뢰딩거 코어시클과 평면 상의 2주파수 보존 미분방정식으로 확장하기.

제안 방법

• 원환면 번들의 위상에서 코어시클 작용의 업그레이드를 통한 동역학적 불변량으로서의 섬유화된 로테이션 수 정의.
• 기저 로테이션의 유일한 측도성 조건 하에서, 헤르만–존슨–모저 정리를 적용하여 로테이션 수의 존재성과 균일 수렴성을 보장.
• 스펙트럼 집합을 통한 전이 함수럴 m±(λ,x)의 해석적 확장을 위한 해석함수 기법 활용; 몬텔의 정리와 정규가우스를 활용.
• 푸비니와 샤워츠 반사로부터 유도된 항등식 I − 4ImJ = 0을 이용해, m±(λ,x)가 스펙트럼을 통해 해석적 확장을 함으로써, SO(2,ℝ)-값을 갖는 코어시클과의 C⁰-동형을 유도.
• m±(λ,x)의 로그 도함수 적분을 통한 핵심 부등식 4liminf_{Imλ→0+} Re~w(λ)/Imλ ≥ I(λ₀) 유도.
• Weyl 전이 함수의 도함수와 스펙트럼 측도 간의 관계를 나타내는 공식 ∂λw(λ) = −J를 사용하여, 항등식 I − 4ImJ = 0 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 준주기적 SL(2,ℝ)-코어시클이 어떤 조건에서 C∞-감소 가능할까?
• RQ2 디오판틴 주파수와 전체 측도 매개변수 집합 조건 하에서, C⁰-동형이 정수 코어시클이면 C∞-동형이 성립할 수 있는가?
• RQ3 고정된 디오판틴 주파수에 대해, 양의 리아풀로프 지수를 갖는 매끄러운 코어시클의 집합이 C∞-밀도를 이룰 수 있는가?
• RQ4 에르고딕성 조건 하에서 스펙트럼 전이 함수 m±(λ,x)는 어떻게 행동하는가? 그 해석적 확장은 감소성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 이러한 방법들은 슈뢰딩거 코어시클과 2주파수 보존 시스템으로까지 확장 가능한가?

주요 결과

• 𝕋 내에서 전체 하르 측도를 갖는 집합 Σ에 속하는 α에 대해, 만약 섬유화된 로테이션 수가 디오판틴이고 섬유화된 곱이 C⁰에서 균일하게 유계이면, 코어시클 (α,A)는 C∞-감소 가능하다.
• α ∈ Σ 이고 (α,A)가 SL(2,ℝ)의 전체 측도 부분집합에 속하는 매개변수 A₀를 갖는 정수 코어시클 (α,A₀)과 C⁰-동형이면, 그 동형은 C∞이다.
• 고정된 α ∈ Σ에 대해, 양의 리아풀로프 지수를 갖는 A ∈ C∞(𝕋, SL(2,ℝ))의 집합은 C∞-밀도를 이룬다.
• 동일한 감소성 및 밀도 결과는 슈뢰딩거 코어시클과 평면 상의 2주파수 보존 미분방정식에도 적용된다.
• μ-거의 모든 x에 대해, 스펙트럼을 통해 m±(λ,x)의 해석적 확장이 가능하며, 이는 SO(2,ℝ)-값을 갖는 코어시클과의 C⁰-동형을 암시한다.
• 스펙트럼 측도와 파incare 메트릭 수축으로부터 도출된 항등식 I − 4ImJ = 0은 로테이션 수가 일정일 수 없음을 보여주며, 이는 비자명한 동역학을 보장한다.