[논문 리뷰] Reducibility of $n$-ary semigroups: from quasitriviality towards idempotency

Miguel Couceiro, Jimmy Devillet외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 23.

semigroups and automata theory참고 문헌 18인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 최소한 $n-1$ 개의 입력이 동일할 때 쿼اسي트리비얼인 결합 $n$-항 연산의 가역성에 대해 연구한다. 이러한 연산—특히 클래스 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$에 속하는 것들—이 이항 결합 연산으로 가역 가능하다는 것을 증명하며, 이를 쿼اسي트리비얼 반군과 지수 $n-1$를 나누는 아벨 군으로 구성된 것으로 완전히 특성화한다. 주요 기여는 이 클래스의 완전한 구조적 특성화와 그 가역성의 증명으로, 기존의 쿼اسي트리비얼 및 아이디포턴트 연산에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let $X$ be a nonempty set. Denote by $\mathcal{F}^n_k$ the class of associative operations $F\colon X^n o X$ satisfying the condition $F(x_1,\ldots,x_n)\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ whenever at least $k$ of the elements $x_1,\ldots,x_n$ are equal to each other. The elements of $\mathcal{F}^n_1$ are said to be quasitrivial and those of $\mathcal{F}^n_n$ are said to be idempotent. We show that $\mathcal{F}^n_1=\cdots =\mathcal{F}^n_{n-2}\subseteq\mathcal{F}^n_{n-1}\subseteq\mathcal{F}^n_n$ and we give conditions on the set $X$ for the last inclusions to be strict. The class $\mathcal{F}^n_1$ was recently characterized by Couceiro and Devillet, who showed that its elements are reducible to binary associative operations. However, some elements of $\mathcal{F}^n_n$ are not reducible. In this paper, we characterize the class $\mathcal{F}^n_{n-1}\setminus\mathcal{F}^n_1$ and show that its elements are reducible. We give a full description of the corresponding reductions and show how each of them is built from a quasitrivial semigroup and an Abelian group whose exponent divides $n-1$.

연구 동기 및 목표

• 클래스 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$를 특성화하는 것, 즉 최소한 $n-1$ 개의 입력이 동일할 때 $F(x_1,\dots,x_n) \in \{x_1,\dots,x_n\}$를 만족하지만 전반적으로 쿼اسي트리비얼이 아닌 결합 $n$-항 연산을 의미한다.
• 이 클래스가 비어 있지 않은데 필요한 집합 $X$의 기수 조건을 규명하는 것.
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$에 속하는 모든 연산이 이항 결합 연산으로 가역 가능하다는 것을 증명하는 것.
• 가환 군의 지수가 $n-1$을 나누는 것으로 구성된 구조적 기반을 통해 이러한 가역성의 전체 구조적 묘사를 제공하는 것.

제안 방법

• 클래스 $F_n^k$를 정의하여, 최소한 $k$ 개의 입력이 동일할 때 쿼اسي트리비얼인 결합 $n$-항 연산으로 간주한다.
• 중첩된 구조 $D_n^k \supseteq D_n^{k+1}$를 사용하여 필터링 $F_n^1 \subseteq F_n^2 \subseteq \cdots \subseteq F_n^n$을 분석한다.
• $n \geq 3$일 때 $F_n^1 = F_n^{n-2}$임을 증명하여 필터링을 세 개의 서로 다른 클래스로 축소한다.
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$를 구조적 분해를 통해 특성화한다: 연산은 쿼اسي트리비얼 반군과 지수 $n-1$를 나누는 아벨 군으로 구성된다.
• 가역성을 입증하기 위해, $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$에 속하는 연산이 항등식 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$를 만족함을 보이며, 이는 이항 결합 연산으로의 가역성을 암시한다.
• 중립 원소 개념과 Dudek–Mukhin 가역성 기준을 사용하여 구조를 이항 가역성과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한 $n-1$ 개의 입력이 동일할 때 쿼اسي트리비얼이지만 전반적으로 쿼اسي트리비얼이 아닌 결합 $n$-항 연산의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ2 집합 $X$에 대해 이 클래스 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$가 비어 있지 않은 조건은 무엇인가?
• RQ3 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$에 속하는 모든 연산이 이항 결합 연산으로 가역 가능한가?
• RQ4 이러한 연산의 가역성은 알려진 대수적 구조로 어떻게 완전히 묘사할 수 있는가?
• RQ5 기초가 되는 아벨 군의 지수가 이러한 연산의 구성에서 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$가 비어 있지 않은 것은 $|X| \geq n$ 이고 $n \geq 3$일 때에만 성립하며, $|X| \geq n$ 조건은 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1 \neq \emptyset$이 되기 위한 필수적이고 충분한 조건이다.
• $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$에 속하는 모든 연산은 항등식 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$를 통해 이항 결합 연산으로 가역 가능하다는 것이 입증되었다.
• 가역성은 쿼اسي트리비얼 반군과 지수 $n-1$를 나누는 아벨 군으로 구성되며, 군은 비중립 원소 집합에 작용한다.
• $|X| \geq n$일 때 $F_n^{n-1} \setminus F_n^1$는 $F_n^1$보다 엄격히 크며, $|X| \geq n$이면 포함관계 $F_n^{n-1} \subseteq F_n^n$도 엄격하다.
• 이러한 연산의 구조는 완전히 특성화되어 있다: 이는 부분집합에서의 쿼اسي트리비얼 이항 연산과 나머지 원소들에 대한 지수 $n-1$를 나누는 군 작용으로 결정된다.
• 기존 결과에 의존하지 않는 가역성의 대안적 증명을 제공하며, 항등식 $F((n-1)\cdot x, y) = F(x, (n-1)\cdot y)$를 가역성에 대한 핵심 기준으로 사용한다.