[논문 리뷰] Reducibility of quantum harmonic oscillator on $ R^d$ with differential and quasi-periodic in time potential

Zhenguo Liang, Zhiguo Wang|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 22.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$에서 조화 진동자 포텐셜과 작은 $t$-임의주기적 포텐셜 $V(\omega t,x)$를 가진 선형 슈뢰딩거 방정식의 가역성을 증명한다. 이때 $V$는 시간에 대해 유한하게 미분 가능하다는 조건, 즉 $V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$를 만족하며, 충분히 큰 $\beta$에 대해 성립한다. 주요 결과는 대부분의 주파수 벡터 $\omega$에 대해 시스템이 자율 해밀토니안 시스템으로 환원되며, 이는 모든 해가 시간에 대해 거의 주기적이며 적절한 소볼레프 노름에서 유계롭다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We improve the results by Grébert and Paturel in \cite{GP} and prove that a linear Schrödinger equation on $R^d$ with harmonic potential $|x|^2$ and small $t$-quasiperiodic potential as $$ { m i}u_t - Δu+|x|^2u+\varepsilon V(ωt,x)u=0, \ (t,x)\in R imes R^d $$ reduces to an autonomous system for most values of the frequency vector $ω\in R^n$. The new point is that the potential $V(θ,\cdot )$ is only in ${\mathcal{C}^β}(T^n, \mathcal{H}^{s}(R^d))$ with $β$ large enough. As a consequence any solution of such a linear PDE is almost periodic in time and remains bounded in some suitable Sobolev norms.

연구 동기 및 목표

• 시간에 대해 유한하게 미분 가능한 경우, 시간-임의주기적 포텐셜을 가진 양자 조화 진동자에 대한 가역성 결과를 확장하는 것.
• 기존의 KAM 유형 결과가 일반적으로 해석적 또는 지브레 클래스의 정규성 조건을 요구하는 데 비해, 포텐셜에 대해 더 약한 $\mathcal{C}^\beta$ 정규성 조건을 가정함으로써 그 격차를 메우는 것.
• большин의 주파수 벡터 $\omega$에 대해, 조화 진동자와 임의주기적 포텐셜을 가진 선형 슈뢰딩거 방정식이 자율 시스템으로 환원됨을 보이는 것.
• 더 약한 정규성 조건 하에서 해가 소볼레프 노름에서 유계이고 시간에 대해 거의 주기적임을 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 원래의 자율적이지 않은 시스템을 자율 시스템으로 변환하는 임의주기적 변환을 구성하기 위해 KAM 유형의 반복 체계를 사용한다.
• 그들은 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb{R}^d)$를 조화 진동자 $T = -\Delta + |x|^2$를 대각화하는 헤르미트 기저 함수 $\Phi_{j,l}$를 사용하여 정의하고, 정규성도 측정하기 위해 가중치가 부여된 $\ell^2$ 공간 $\ell^2_s$를 도입한다.
• 포텐셜 $V$는 소볼레프 공간 $\mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d)$ 값을 갖는 시간에 대한 $\beta$-홀더 연속성으로 가정하며, 해석성 대신 유한한 미분 가능성 가능성을 허용한다.
• 증명은 변환 연산자 $\Psi_\omega$의 노름을 $\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$에서 추정하고, $\varepsilon$가 작을 때 그 값이 작다는 것을 보이는 주요 급수 방법에 의존한다.
• 핵심 기술적 도구로는 도메인 주파수 공간의 이진 분해와 코시 추정을 사용하여 반복 KAM 체계에서 도함수의 성장을 통제한다.
• 최종 결과는 나머지 항들이 $\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$의 속도로 감소함을 보여, 정규성 조건 하에서 KAM 반복의 수렴성을 확보함으로써 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석성이 아닌 유한한 미분 가능성($\mathcal{C}^\beta$) 조건 하에서, 임의주기적 포텐셜을 가진 양자 조화 진동자의 가역성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 포텐셜 $V(\omega t,x)$가 시간에 대해 최소한 어느 정도의 정규성이 있어야 소볼레프 노름에서 해가 유계이고 가역성이 보장되는가?
• RQ3 포텐셜이 유한하게만 미분 가능할 경우 KAM 반복 체계는 어떻게 행동하며, 이러한 경우 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ4 $\mathcal{C}^\beta$-정규성 임의주기적 포텐셜을 가진 선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 거의 주기적 해를 보장할 수 있는가?
• RQ5 가역성 측도는 정규성 매개변수 $\beta$와 $\varepsilon$의 작고의 의존성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• $\beta$가 충분히 크면, $\omega \in \mathbb{R}^n$의 전체 측도 집합에 대해 주어진 조건 $V \in \mathcal{C}^\beta(\mathbb{T}^n, \mathcal{H}^s(\mathbb{R}^d))$ 하에서 시스템이 자율 해밀토니안 시스템으로 환원됨을 보였다.
• 가역성을 달성하는 변환 $\Psi_\omega$는 프레셰 미분 가능하며, $\mathcal{C}^{k+b}(\mathbb{T}^n, \mathfrak{L}(\mathcal{H}^{s'}, \mathcal{H}^{s'+2\alpha}))$에서의 노름이 $C\epsilon^{\frac{3}{2\beta}(\frac{2}{9}\beta - \mu)}$ 이하로 유계임을 보였으며, 이는 KAM 반복의 수렴을 보장한다. ($\mu \leq \beta$)
• 원래의 PDE의 모든 해는 시간에 대해 거의 주기적이며, 모든 시간에 걸쳐 $\mathcal{H}^{s'}$-노름에서 유계로 유지된다. 이는 자율 시스템으로의 환원 덕분이다.
• Grébert와 Paturel [22]의 결과를 개선하여, $V$에 대한 정규성 요구 조건을 해석적 또는 지브레 클래스에서 충분히 큰 $\beta$에 대해 유한하게 미분 가능한 ($\mathcal{C}^\beta$) 것으로 완화하였다.
• 주요 급수와 이진 분해를 사용하여 도함수의 성장을 통제함으로써, 포텐셜이 해석적이지 않더라도 KAM 체계가 수렴함을 입증하였다.
• 수렴 속도가 $\epsilon$과 $\beta$에 어떻게 의존하는지 정량화하였으며, $\beta > \frac{9}{2}\mu$이면 지수항이 양수로 유지되어 가역성이 성립함을 보였다.