[논문 리뷰] Reducing the Complexity of Matrix Multiplication to $O(N^2log_2N)$ by an Asymptotically Optimal Quantum Algorithm

Jiaqi Yao, Ding Liu|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 05.

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한 줄 요약

The paper introduces a Quantum Kernel-based Matrix Multiplication (QKMM) algorithm that achieves an asymptotically optimal quantum gate complexity of O(N^2 log N), outperforming the classical best O(N^2.371552), with both noiseless and noisy simulations validating its theoretical and practical advantages.

ABSTRACT

Matrix multiplication is a fundamental classical computing operation whose efficiency becomes a major challenge at scale, especially for machine learning applications. Quantum computing, with its inherent parallelism and exponential storage capacity, offers a potential solution to these limitations. This work presents a quantum kernel-based matrix multiplication algorithm (QKMM) that achieves an asymptotically optimal computational complexity of $ O(N^2 \log_2 N) $, outperforming the classical optimal complexity of $ O(N^{2.371552}) $, where $N$ denotes the matrix dimension. Through noiseless and noisy quantum simulation experiments, we demonstrate that the proposed algorithm not only exhibits superior theoretical efficiency but also shows practical advantages in runtime performance and stability.

연구 동기 및 목표

• Compute-intensive 작업에서 더 빠른 행렬 곱셈의 필요성에 대한 동기 부여(예: AI 및 과학 컴퓨팅).
• 행렬 곱셈을 가속화하기 위한 Quantum Kernel-based 프레임워크(QKMM) 제안.
• QKMM이 asymptotically optimal O(N^2 log N) 양자 게이트 복잡도에 도달함을 보임.
• QKMM을 잘 알려진 고전적 복잡도 및 이전 양자 방법과 비교.
• 무손실 및 잡음 양자 시뮬레이션과 회로 수준 분석을 통해 방법의 유효성 확인.

제안 방법

• Amplitude-encoded 데이터 및 kernel-based inner products를 이용한 Quantum Kernel-based Matrix Multiplication (QKMM) 제안.
• 단일 회로 내 병렬 계산을 가능하게 하는 네 가지 회로 계열 V2V(vector-to-vector), V2M(vector-to-matrix), M2M(matrix-to-matrix), MMM(multi-matrix) 개발.
• 행/열을 단위행렬에 매핑하기 위해 multi-controlled amplitude encoding 및 index 레지스터 사용.
• N×N 행렬에 대한 게이트 기반 복잡도와 큐비트 요구량을 보여주는 자원 카운트 분석.
• 각 하위루틴에 대한 회로 설계(도면 포함) 및 상세한 진화(step) 제시.
• 무손실 및 현실적인 잡음 모델 하에서의 시뮬레이션을 통해 충실도와 강건성 평가.

Figure 1: Comparison of time complexity between QKMM algorithm and classical algorithms.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 곱셈에 대해 양자 커널 기반 프레임워크가 asymptotically optimal한 quantum gate complexity를 달성할 수 있는가?
• RQ2 QKMM이 고전적 최적 상한인 O(N^2.371552) 및 기존 양자 방법과 자원 카운트 및 확장성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 잡음이 QKMM 성능에 미치는 영향은 무엇이며, 병렬화가 강건성 및 충실도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 V2V, V2M, M2M, MMM 구성요소가 전체 속도향상 및 실제 가능성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• QKMM은 대규모 N에 대해 O(N^2 log N) 양자 게이트 복잡도에 수렴하는 asymptotically optimal하게 도달하며, 이는 O(N^2) 하한에 근접합니다.
• QKMM은 고전적 행렬 곱셈의 잘 알려진 상한인 O(N^2.371552)보다 우수합니다.
• 무손실 시뮬레이션에서 V2V, V2M, M2M, MMM 변형 전반에서 행렬 크기가 커질수록 상당한 병렬 가속이 나타납니다.
• 잡음 시뮬레이션에서 차원이 커지고 노이즈 결합이 커질수록 충실도가 저하되며, 깊이가 늘어나면 게이트 노이즈가 주요 요인으로 확인됩니다.
• QKMM은 현실적 노이즈 하에서 내부 곱셈 작업의 하다마드 테스트(Hadamard Test) 및 Swap Test 벤치마크에 비해 충실도가 높고 에러 증가가 느립니다.
• 이 연구는 완전한 회로 구현과 클래식 및 기존 양자 방법과의 직접 비교를 가능하게 하는 게이트 수 기반 성능 메트릭을 제공합니다.

Figure 2: Time consumption analysis of matrix multiplication based on different quantum circuits; (a) Comparison of V 2 V computational efficiency; (b) Comparison of V 2 M computational efficiency; (c) Comparison of M 2 M computational efficiency; (d) Comparison of M-MM computational efficiency.