[논문 리뷰] Reduction of Feynman graph amplitudes to a minimal set of basic integrals

O.V. Tarasov|arXiv (Cornell University)|1998. 12. 04.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 질량이 있는 보편적인 선형과 임의의 외부 운동량을 가진 다중 루프 파인만 적분을 최소한의 기본 적분 집합으로 줄이는 체계적인 알고리즘을 제시한다. 일반화된 재귀 관계를 선형 편미분방정식(PDE) 시스템으로 변환하고 표준형 알고리즘을 적용함으로써, PDE 시스템의 해 공간 차원을 통해 유한하고 최소한의 마스터 적분 기저를 식별하는 방법을 제시한다. 이는 양자장론에서 복잡한 진폭의 해석적 또는 수치적 평가를 가능하게 한다.

ABSTRACT

An algorithm for the reduction of massive Feynman integrals with any number of loops and external momenta to a minimal set of basic integrals is proposed. The method is based on the new algorithm for evaluating tensor integrals, representation of generalized recurrence relations for a given kind of integrals as a linear system of PDEs and the reduction of this system to a standard form using algorithms proposed by G. Reid. Basic integrals reveal as parametric derivatives of the system in the standard form and the number of basic integrals in the minimal set is determined by the dimension of the solution space of the system of PDEs.

연구 동기 및 목표

• 임의의 질량과 외부 운동량을 가진 다중 루프 파인만 진폭을 최소한의 기본 적분 집합으로 줄이는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 다양한 질량과 비가역적 분자수를 가진 도형을 다룰 때 전통적인 적분별 부분법의 한계를 극복하는 것.
• 재귀 관계의 대수적 분석을 통한 마스터 적분 식별을 위한 체계적인 프레임워크를 제공하는 것.
• 표준 모형에서 복잡한 진폭의 실용적 계산을 가능하게 하기 위해 텐서 적분과 스칼라 적분을 유한한 기저로 줄이는 것.

제안 방법

• 참고문헌 [1]의 방법을 사용하여, 텐서 및 비가역 분자수 적분을 이격된 시공간 차원 $d$에서의 스칼라 적분 조합으로 표현한다.
• 모든 다중 루프 도형에 대해 질량 있는 선형과 임의의 외부 운동량을 가진 경우에도 적용 가능한 적분별 부분법에서 유도된 일반화된 재귀 관계를 도출한다.
• 재귀 관계 시스템을 질량 변수에 대한 선형 편미분방정식(PDE) 시스템으로 변환한다.
• G. Reid의 표준형 알고리즘을 적용하여 PDE 시스템을 주도 및 매개변수 미분을 갖는 표준형으로 축소한다.
• 표준형에서의 매개변수 미분을 최소한의 마스터 적분으로 식별하며, 그 수는 해 공간의 차원과 일치한다.
• 얻어진 표준형을 사용하여 재귀 관계를 생성하고, 마스터 적분의 미분을 통한 고차수 적분의 순차적 평가를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 질량과 외부 운동량을 가진 다중 루프 파인만 적분은 어떻게 최소한의 마스터 적분 기저로 체계적으로 줄일 수 있는가?
• RQ2 감소 과정에서 독립성과 최소성 보장을 보장하는 최적의 재귀 관계 집합은 무엇인가?
• RQ3 텐서 적분과 비가역 분자수를 가진 적분은 어떻게 이격된 차원에서 스칼라 적분으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 주어진 도형에서 PDE 시스템의 해 공간과 마스터 적분의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 표준형 알고리즘이 파인만 적분 감소에 효과적으로 적용되어 일관되고 표준화된 재귀 관계 시스템을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 최소한의 마스터 적분 수는 유도된 선형 PDE 시스템의 해 공간 차원에 의해 결정된다.
• PDE 시스템의 표준형에서의 매개변수 미분은 원래 파인만 진폭의 마스터 적분과 정확히 일치한다.
• 이 방법은 다양한 질량과 비가역 분자수를 가진 도형에 대해서도 완전하고 알고리즘적으로 해를 제공한다.
• 표준형은 일관성을 보장하고 중복된 재귀 관계를 제거하여 최소하고 독립적인 관계 집합을 보장한다.
• 이 접근법은 마스터 적분의 미분을 통한 고차수 적분의 체계적 평가를 가능하게 한다.
• 이 방법은 일반적이며, 텐서 구조와 복잡한 질량 패tern을 가진 모든 다중 루프 도형에 적용 가능하다.