[논문 리뷰] Reductions fo some families of two-dimensional crystalline Galois representations

Gerasimos Dousmanis|arXiv (Cornell University)|2008. 05. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 Q_p의 유한한 무분할 확장 위에서 무한한 수의 크리스탈린 게일로아 표현을 유도하는 분석적 가속도를 갖는 에탈레 (Phi,Gamma)-모듈의 가속도를 구성한다. 주어진 기저가 되는 기약적이고 효과적인 두차원 크리스탈린 표현(하우지-테이트 무게 {0, -k_i})을 포함하는 이러한 가속도의 존재를 증명하고, 그들의 반순환 모듈로 p 환원을 계산한다.

ABSTRACT

Let K_{f} be the finite unramified extension of Q_{p} of degree f and E any finite large enough coefficient field containing K_{f}. We construct analytic families of etale (Phi,Gamma)-modules which give rise to families of crystalline E-representations of the absolute Galois group G_{K_{f}} of K_{f}. For any irreducible effective two-dimensional crystalline E-representation of G_{K_{f}} with labeled Hodge-Tate weights {0,-k_{i}}_{{ au}_{i}} induced from a crystalline character of G_{K_{2f}}, we construct an infinite family of crystalline E-representations of G_{K_{f}} of the same Hodge-Tate type which contains it. As an application, we compute the semisimplified mod p reductions of the members of each such family.

연구 동기 및 목표

• Q_p의 유한한 무분할 확장 위에서 에탈레 (Phi,Gamma)-모듈의 분석적 가속도를 구성한다.
• 주어진 기저 기반의 기약 표현과 동일한 하우지-테이트 유형을 갖는 무한한 수의 크리스탈린 E-표현을 G_{K_f}에서 생성한다.
• 각 가속도의 구성원에 대한 반순환 모듈로 p 환원을 계산한다.
• 유도된 특성으로 K_{2f}에서 K_f로의 올림을 통해 크리스탈린 표현에 대한 결과를 확장한다.

제안 방법

• G_{K_f} 위에서 분석적 가속도를 이용해 게일로아 표현의 가속도를 매개변수화한다.
• G_{K_{2f}}의 크리스탈린 특성들을 이용해 K_f 위에서 표현을 유도한다.
• (Phi,Gamma)-모듈 이론을 적용하여 고정된 하우지-테이트 무게 {0, -k_i}를 갖는 K_f 위의 가속도를 구성한다.
• 하우지-테이트 무게의 레이블링을 활용해 가속도 전반에 걸쳐 일관성을 확보한다.
• 절대 게일로아 군 G_{K_f}의 구조를 활용해 크리스탈린성과 기약성을 보장한다.
• 가속도의 구조와 그 환원 행동을 통해 반순환 모듈로 p 환원을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 기저 기반의 기약 표현과 동일한 하우지-테이트 유형을 갖는 무한한 수의 크리스탈린 게일로아 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 K_{2f}에서 유도된 크리스탈린 표현이 K_f로 올라올 때 어떻게 행동하는가?
• RQ3 이러한 크리스탈린 표현의 가속도에 대한 모듈로 p 환원의 구조는 어떠한가?
• RQ4 분석적 가속도를 이용해 (Phi,Gamma)-모듈이 이러한 가속도를 효과적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ5 레이블링된 하우지-테이트 무게는 이러한 가속도의 구성과 분류에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 주어진 기저 기반의 기약적이고 효과적인 두차원 크리스탈린 표현(하우지-테이트 무게 {0, -k_i})을 포함하는 무한한 수의 크리스탈린 E-표현 G_{K_f}의 가속도를 구성한다.
• 가속도는 K_f 위에서 분석적 가속도를 갖는 에탈레 (Phi,Gamma)-모듈로 매개변수화된다.
• 각 가속도 내 구성원의 반순환 모듈로 p 환원이 명시적으로 계산된다.
• 구성은 G_{K_{2f}}에서 G_{K_f}로의 크리스탈린 특성 유도를 통해 가속도를 생성하는 데 의존한다.
• 모든 가속도 구성원에서 하우지-테이트 무게 {0, -k_i}가 유지된다.
• 이 방법은 가속도 내 모든 표현이 원래 표현과 동일한 유형의 크리스탈린 표현임을 보장한다.