[논문 리뷰] Refactorization of Cauchy's method: a second-order partitioned method for fluid-thick structure interaction problems

Martina Bukač, Anyastassia Seboldt외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 29.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 51인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 재구성된 카우치의 θ-방법과 일반화된 로빈 경계 조건을 사용하여 유체-두꺼운 구조물 상호작용(FSI) 문제에 대해 이阶, 강하게 결합된 분할 방법을 제안한다. 이 방법은 유체 및 구조물의 후진 오일러(BE) 부분 반복을 시간 적분에 적용한 후, 전진 오일러(FE) 외삽을 수행함으로써 θ ∈ [1/2, 1] 범위에서 이차 수준의 정확도와 무조건적 안정성을 확보한다. 수렴 분석 및 생리학적 매개변수를 가진 기준 FSI 시뮬레이션을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

This work focuses on the derivation and the analysis of a novel, strongly-coupled partitioned method for fluid-structure interaction problems. The flow is assumed to be viscous and incompressible, and the structure is modeled using linear elastodynamics equations. We assume that the structure is thick, i.e., modeled using the same number of spatial dimensions as fluid. Our newly developed numerical method is based on generalized Robin boundary conditions, as well as on the refactorization of the Cauchy's one-legged `theta-like' method, written as a sequence of Backward Euler-Forward Euler steps used to discretize the problem in time. This family of methods, parametrized by theta, is B-stable for any theta in [0.5,1] and second-order accurate for theta=0.5+O(tau), where tau is the time step. In the proposed algorithm, the fluid and structure subproblems, discretized using the Backward Euler scheme, are first solved iteratively until convergence. Then, the variables are linearly extrapolated, equivalent to solving Forward Euler problems. We prove that the iterative procedure is convergent, and that the proposed method is stable provided theta in [0.5,1]. Numerical examples, based on the finite element discretization in space, explore convergence rates using different values of parameters in the problem, and compare our method to other strongly-coupled partitioned schemes from the literature. We also compare our method to both a monolithic and a non-iterative partitioned solver on a benchmark problem with parameters within the physiological range of blood flow, obtaining an excellent agreement with the monolithic scheme.

연구 동기 및 목표

• 두꺼운 밀도 구조물이 있는 FSI에서 전통적인 딜레르흐-뉴먼 방법의 불안정성과 최적화되지 않은 수렴 성능을 해결한다.
• O(τ^{1/2}) 수렴 성능과 연산자 분할 오차로 인해 제한되는 느슨하게 결합된 방법의 한계를 극복한다.
• 이차 시간 정확도를 확보하면서도 안정성과 계산 효율성을 유지하는 강하게 결합된 분할 스킴을 개발한다.
• 실제 혈류 조건에서 다양한 경계 조건 매개변수(α)와 시간 간격 허용 오차(ε)에 대해 강건성을 확보한다.
• 생리학적으로 관련성이 있는 기준 FSI 문제에서 단일체 해법과 우수한 일치를 보여준다.

제안 방법

• 카우치의 한쪽 다리 ‘θ-유사’ 방법을 후진 오일러(BE)와 전진 오일러(FE) 시간 이산화로 재구성한다: 유체 및 구조물 하위 문제에 대한 BE 단계를 수렴할 때까지 반복한다.
• 운동학적(디리클레) 및 동역학적(뉴먼) 조건을 매개변수 α로 조합하여 일반화된 로빈 경계 조건을 구현한다.
• BE 수렴 후 선형 외삽(해당하는 전진 오일러 문제를 푸는 것과 동치)을 통해 이차 수준의 정확도를 확보한다.
• 에너지 추정을 사용하여 BE 부분 반복의 수렴성과 θ ∈ [1/2, 1] 범위에서의 안정성을 증명한다.
• 유체(속도-압력)에는 P2-P1 유한요소, 구조물(속도-변위)에는 P2 요소를 사용하여 공간 영역을 이산화한다.
• 직접 비교를 위해 동일한 메esh와 시간 간격에서 단일체, 제안된, 그리고 느슨하게 결합된 스킴을 모두 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두꺼운 구조물에 대해 유체와 고체의 밀도가 유사한 경우, 분할 FSI 스킴이 이차 시간 수렴 성능를 확보할 수 있는가?
• RQ2 카우치의 θ-방법을 BE-FE로 재구성한 제안된 방법이 일반화된 로빈 결합 조건 하에서 안정성과 수렴성을 보장하는가?
• RQ3 경계 조건 매개변수 α와 부분 반복 허용 오차 ε이 수렴 속도와 계산 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 생리학적으로 관련성이 있는 기준 FSI 문제에서 제안된 방법이 단일체 해법 및 비반복 분할 해법에 비해 정확도와 안정성 면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 시간 간격 τ와 동일한 비율로 ε를 감소시킬 경우, 최적 수렴 성능를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• θ = 1/2일 때 시간에 대한 이차 수렴 성능(O(τ²))를 확보하며, ε가 τ와 비례적으로 감소할 경우 최적 수렴 속도를 유지한다.
• 기타 θ 값에서는 수렴 속도가 O(τ)에서 O(τ²)로 떨어지며, ε가 너무 클 경우(예: ε = 10⁻³) 부적절한 수렴이 발생한다. 이는 τ와 함께 ε를 감소시킴으로써 수정 가능하다.
• 시간 단위 평균 BE 부분 반복 수는 일반적으로 약 2이며, τ가 작아질수록 감소한다. 로빈-뉴먼 또는 로빈-로빈 방법보다 반복 횟수가 적다.
• 생리학적 매개변수를 가진 기준 혈류 문제에서 제안된 스킴과 단일체 해법 간에 유량, 압력, 경계면 변위에서 뛰어난 일치를 보였다.
• 에너지 추정을 통해 θ ∈ [1/2, 1] 범위에서 무조건적 안정성이 증명되었으며, 다양한 α 값(이전 연구에서의 최적 αopt 포함)에서도 강건성을 확보하였다.
• 비반복 분할 방법에 비해 정확도가 뛰어나며, 연산자 분할 오차가 현저히 작고, 단일체 기준 해법과의 일치도 뛰어나다.