[논문 리뷰] Refined basic couplings and Wasserstein-type distances for SDEs with Lévy noises

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 레비 소음에 의해 구동되는 SDE의 반군에 대해 $L^1$-와서르스탄 및 총변동 거리에서 지수 수렴성을 확립한다. 레비 점프 과정을 위한 정교화된 기본 커플링을 사용하여, 레비 측도에 대한 약한 비퇴도 조건과 국소 선형 및 전역 이차 소산성 조건을 만족하는 드리프트 조건 하에서 명시적인 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

We establish the exponential convergence with respect to the $L^1$-Wasserstein distance and the total variation for the semigroup corresponding to the stochastic differential equation (SDE) $$d X_t=d Z_t+b(X_t)\,d t,$$ where $(Z_t)_{t\ge0}$ is a pure jump Lévy process whose Lévy measure $ν$ fulfills $$ \inf_{x\in \R^d, |x|\le κ_0} [ν\wedge (δ_x \ast ν)]( \R^d)>0$$ for some constant $κ_0>0$, and the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in \R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} Φ_1(|x-y|)|x-y|,& |x-y|\le l_0; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> l_0 \end{cases}$$ with some positive constants $K_2, l_0$ and positive measurable function $Φ_1$. The method is based on the refined basic coupling for Lévy jump processes. As a byproduct, we obtain sufficient conditions for the strong ergodicity of the process $(X_t)_{t\ge0}$.

연구 동기 및 목표

• 레비 노이즈를 갖는 SDE의 반군에 대해 $L^1$-와서르스탄 및 총변동 거리에서 지수 수렴성을 확립한다.
• 커플링 기반 방법을 비립슐츠 드리프트와 일반 레비 노이즈를 갖는 점프 디퓨전에 확장한다.
• 해결 과정의 강력한 에르고디시티를 위한 충분한 조건을 제공한다.
• 기존의 점프-디퓨전 설정에서의 워서르스탄 수렴 결과를 확산 사례를 초월해 일반화한다.
• 레비 측도의 국소 구조가 커플링 및 수렴을 보장하는 데 수행하는 역할을 분석한다.

제안 방법

• 다른 초기 조건을 갖는 SDE의 두 해를 커플링하기 위해 레비 점프 과정을 위한 정교화된 기본 커플링을 도입한다.
• 점프 분포의 충분한 국소 겹침을 확보하기 위해 조건 $\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$ 를 사용한다.
• 큰 거리에서 소산성을 보장하기 위해 형태 $\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \leq \Phi_1(|x-y|)|x-y| - K_2|x-y|^2$ 의 드리프트 조건을 적용한다. 이는 $|x-y| \geq l_0$ 일 때 성립한다.
• 모멘트 및 경로 기반 커플링 추정을 통해 전이 핵의 워서르스탄 및 총변동 거리 제어를 한다.
• 커플링 시간 및 커플링 시간 모멘트 추정을 사용하여 지수 감쇠 속도를 도출한다.
• 작은 점프 영역에서의 커플링 오차를 제어하기 위해 레비 밀도의 적분 가능성과 정규성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 측도와 드리프트에 대해 어떤 조건이 레비 노이즈를 갖는 SDE의 반군이 $L^1$-와서르스탄 거리에서 지수 수렴성을 보장하는가?
• RQ2 정교화된 기본 커플링 기법은 비립슐츠 드리프트와 일반 레비 노이즈를 갖는 SDE로 확장될 수 있는가?
• RQ3 국소 비퇴도 조건 $\inf_{|x|\leq\kappa_0} [\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d) > 0$ 이 커플링 및 수렴을 보장하는 데 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 큰 거리에서 드리프트의 소산적 행동이 수렴 속도에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 이 점프-디퓨전 프레임워크에서 해결 과정의 강력한 에르고디시티를 위한 충분한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 주어진 드리프트 및 레비 측도 조건 하에서 $\delta_x P_t$ 와 $\delta_y P_t$ 사이의 $L^1$-와서르스탄 거리는 지수적으로 감소한다.
• 동일한 분포들 사이의 총변동 거리 역시 지수적으로 수렴하며, $L^1$-와서르스탄 거리와 동일한 속도로 수렴한다.
• 수렴 속도는 상수 $K_2$ 와 $\kappa_0$, 그리고 $[\nu \wedge (\delta_x * \nu)](\mathbb{R}^d)$ 의 하한에 의해 명시적으로 결정된다.
• 정교화된 기본 커플링 구성은 커플링 시간이 지수 모멘트를 갖음을 보장하여 지수 수렴의 도출을 가능하게 한다.
• 이 방법은 비립슐츠 드리프트, 특히 가측 함수 $\Phi_1$ 을 갖는 $\mathbf{B}(\Phi_1(r), K_2 r, l_0)$ 를 만족하는 드리프트에도 적용 가능하다.
• 결과는 과정 $(X_t)_{t \geq 0}$ 이 강력한 에르고디시티를 갖음을 시사하며, 수렴 속도는 초기 조건과 무관하다.