[논문 리뷰] Refined enumeration of $k$-plane trees and $k$-noncrossing trees

Isaac Owino Okoth, Stephan M. Wagner|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 02.

Graph theory and applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 1에서 $k$까지의 각 값으로 라벨이 부여된 정점의 수에 기반하여 $k$-플레인 트리와 $k$-비교교차 트리의 개선된 수세기 공식을 제시한다. 함수 방정식과 라그랑주-부르망 역행렬 공식을 사용하여, 주어진 라벨 빈도를 갖는 이러한 트리의 수에 대한 명시적 곱공식을 유도함으로써 폐쇄형 표현과 새로운 조합적 항등식을 도출한다. 주요 기여는 주어진 라벨 빈도를 갖는 $k$-플레인 트리의 정밀한 수를 위한 놀랍도록 단순한 곱공식을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

A $k$-plane tree is a plane tree whose vertices are assigned labels between $1$ and $k$ in such a way that the sum of the labels along any edge is no greater than $k+1$. These trees are known to be related to $(k+1)$-ary trees, and they are counted by a generalised version of the Catalan numbers. We prove a surprisingly simple refined counting formula, where we count trees with a prescribed number of labels of each kind. Several corollaries are derived from this formula, and an analogous theorem is proven for $k$-noncrossing trees, a similarly defined family of labelled noncrossing trees that are related to $(2k+1)$-ary trees.

연구 동기 및 목표

• 1에서 $k$까지의 각 값으로 라벨이 부여된 정점의 수에 기반하여 $k$-플레인 트리의 정밀한 수식을 유도하는 것.
• 비교교차 라벨 트리의 가족인 관련된 $k$-비교교차 트리로 정밀한 수세기를 확장하는 것.
• 지정된 라벨 빈도를 갖는 이러한 트리의 수에 대한 명시적 곱공식을 수립하여 일반화된 카탈란 수를 일반화하는 것.
• 이 트리 가족에서 라벨 빈도의 모멘트와 분포(평균, 분산, 공분산 포함)를 계산하는 것.
• $k=2$일 때 평면 트리의 독립집합에 대한 알려진 결과가 특수한 경우로 복원되는 방식을 설명하는 것.

제안 방법

• 라벨 트리 수를 코딩하는 생성함수를 위한 함수 방정식 시스템을 수립하는 것.
• 함수 방정식을 해결하고 계수를 추출하기 위해 라그랑주-부르망 역행렬 공식을 적용하는 것.
• 생성함수 시스템을 단순화하고 폐쇄형 표현을 도출하기 위해 전략적 치환을 사용하는 것.
• 특정 라벨 수를 갖는 $k$-플레인 트리의 수에 대한 곱공식을 유도하며, 루트 라벨에 따라 경우를 나누는 것.
• 레벨 기반 내림걸음 수가 특정한 타입인 격자 경로와의 연관성을 통해 $k$-비교교차 트리로 방법을 확장하는 것.
• 생성함수의 미분과 잔여물 계산을 통해 모멘트(평균, 분산, 공분산)를 계산하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 $i \in [k]$에 대해 라벨 $i$를 가진 정점의 수가 주어졌을 때, $k$-플레인 트리의 정확한 수는 얼마인가요?
• RQ2 $k$-플레인 트리에서 라벨의 분포는 어떻게 행동하는가, 특히 평균, 분산, 공분산 측면에서 어떻게 되는가요?
• RQ3 $k$-비교교차 트리의 정밀한 수를 $k$-플레인 트리의 것과 유사한 곱공식으로 표현할 수 있을까요?
• RQ4 $k=2$일 때 결과가 평면 트리의 독립집합에 대한 알려진 결과를 어떻게 복원하거나 일반화하는가요?
• RQ5 $k$-플레인 트리와 $k$-비교교차 트리의 유도된 곱공식을 뒷받침하는 구조적 대칭성 또는 이중성은 무엇인가요?

주요 결과

• 루트 라벨이 $h$이고, $i \in [k]$에 대해 $\ell_i$개의 정점이 라벨 $i$를 가진 $k$-플레인 트리의 수는 $h$, $k$, 누적 라벨 수에 따라 달라지는 이항계수의 곱으로 주어진다.
• $k=4$일 때, 라벨 1, 2, 3, 4를 각각 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ell_4$개의 정점으로 가지는 $4$-플레인 트리의 총 수는 $\frac{1}{n-1}\binom{2n-2}{\ell_1}\binom{2n-2-\ell_1-\ell_4}{\ell_2}\binom{n-1}{\ell_3}\binom{\ell_1+\ell_4-1}{\ell_4}$이다.
• $n$개의 정점을 가진 $2$-비교교차 트리에서 라벨 $1$을 가진 정점 수의 분산은 $\frac{3(2n-1)(4n-3)(49n^2-100n+44)}{25(5n-6)(7n-5)^2}$이다.
• $n$개의 정점을 가진 $2$-비교교차 트리에서 라벨 $1$과 $2$를 가진 정점 수의 공분산은 음수이며, 각 라벨의 분산과 크기가 같으며, 이는 라벨 합이 $n$으로 결정되어 있기 때문이다.
• $n$개의 정점과 루트 라벨이 $1$인 $2$-비교교차 트리에서 라벨 $1$을 가진 정점의 평균 수는 $\frac{3n^2 - n - 1}{5n - 4}$이다.
• $k=2$일 때의 결과는 평면 트리에서 각 크기의 독립집합 수에 대한 알려진 공식을 복원하여 이전 연구와의 일致성을 확인한다.