[논문 리뷰] Refined global Gross-Prasad conjecture on special Bessel periods and Boecherer's conjecture

Masaaki Furusawa, Kazuki Morimoto|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 42인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $에 대해 특수 베타 주기의 관점에서 중심값 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $에 대한 명시적 이치노-이케다 유형의 공식을 옹호한다. 이는 온도성과 이산 계열 조건 하에서 성립하며, 이 결과는 이 경우 리우의 정밀화된 그로스-프라사드 추측을 확인하고, 디그리 2의 시겔 촉성형식에 대한 보처러의 추측을 따름으로써 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we pursue the refined global Gross-Prasad conjecture for Bessel periods formulated by Yifeng Liu in the case of special Bessel periods for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$. Recall that a Bessel period for $\mathrm{SO}\left(2n+1 ight) imes\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is called special when the representation of $\mathrm{SO}\left(2 ight)$ is trivial. Let $π$ be an irreducible cuspidal tempered automorphic representation of a special orthogonal group of an odd dimensional quadratic space over a totally real number field $F$ whose local component $π_v$ at any archimedean place $v$ of $F$ is a discrete series representation. Let $E$ be a quadratic extension of $F$ and suppose that the special Bessel period corresponding to $E$ does not vanish identically on $π$. Then we prove the Ichino-Ikeda type explicit formula conjectured by Liu for the central value $L\left(1/2,π ight)L\left(1/2,π imesχ_E ight)$, where $χ_E$ denotes the quadratic character corresponding to $E$. Our result yields a proof of Boecherer's conecture on holomorphic Siegel cusp forms of degree two which are Hecke eigenforms.

연구 동기 및 목표

• 예펑 리우가 추측한 lin \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $에 대해 특수 베타 주기의 관점에서 중심값 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $에 대한 명시적 공식을 수립한다.
• 온도성 조건과 이산 계열 조건 하에서 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $에서 특수 베타 주기의 정밀화된 글로벌 그로스-프라사드 추측을 확장한다. 이 경우 $ \mathrm{SO}(2) $ 표현은 자명하다.
• 디그리 2의 헤키 고유형이면서 헬름스-에이겐형식인 정복형 시겔 촉성형식의 스피너 L-함수의 중심 임계값에 관한 보처러의 추측을 증명한다.
• 온도성 및 이산 계열 조건 하에서 중심 L-값이 0이 아닐 조건은 특수 베타 주기가 식별적으로 0이 아닐 조건과 동치임을 확립한다.

제안 방법

• 자동형 표현을 $ \mathrm{SO}(2n+1) $에서 $ \widetilde{\mathrm{Sp}}_n $의 일반형 표현으로 연결하기 위해 글로벌 토타 대응과 내림 방법을 사용한다.
• 지역 L-표현 이론과 L-매개변수 이론을 적용하여 자동형 표현의 국소 성분을 비교한다.
• ハウ 더얼티와 온도성 L-패킷 내 일반형 원소의 유일성을 활용하여, $ \theta(\pi_v, \psi_v) $의 일반성에서 유도된 국소 동형사상 $ \pi_v \simeq \pi'_v $를 도출한다.
• 베타 주기의 비영성으로 인해 글로벌 내림과 $ \mathrm{GL}_{2n} $로의 약한 상승을 통해 중심 L-값의 비영성을 유도한다.
• 딕슨, 피탈, 사하, 슈미트의 작업을 적용하여 결과를 디그리 2의 시겔 모듈라 형식과 연결한다.
• 아르처 [3]의 추측 9.5.4가 $ \mathcal{G}_n $에 속하는 군들에 대해 성립한다고 가정함으로써, $ \pi $에 대한 약한 상승과 다중성의 유일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 베타 주기의 관점에서 $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $에 대해 이치노-이케다 유형의 중심 L-값 공식 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $이 성립하는가?
• RQ2 만약 $ \pi $가 온도성이고 그 아르히메디안 성분이 이산 계열이라면, 특수 베타 주기의 정밀화된 글로벌 그로스-프라사드 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ3 특수 베타 주기가 비영일 경우 중심 L-값 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $도 비영일까?
• RQ4 이 결과로부터 디그리 2의 시겔 촉성형식에 대한 보처러의 추측, 즉 스피너 L-함수의 중심 임계값에 관한 추측을 유도할 수 있는가?
• RQ5 글로벌 토타 상승 $ \theta(\pi, \psi) $가 $ \psi_\lambda $-일반형인 경우, $ \pi $가 유형 $ E $의 특수 베타 모델을 가진다는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $ \pi $가 온도성이고 그 아르히메디안 성분이 이산 계열일 조건 하에서, $ \mathrm{SO}(2n+1) \times \mathrm{SO}(2) $에 대해 특수 베타 주기의 관점에서 중심값 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $에 대한 이치노-이케다 유형의 공식을 증명한다.
• 특수 베타 주기가 비영일 경우 중심 L-값 $ L(1/2, \pi)L(1/2, \pi \times \chi_E) $도 비영일 것임을 입증함으로써, 이 경우 정밀화된 그로스-프라사드 추측을 확인한다.
• 아르처의 추측(약한 상승에 관한)을 가정할 경우, 만약 베타 주기가 식별적으로 0이라면 중심 L-값도 반드시 0이어야 한다는 것을 증명한다.
• 저자들은 정복형 시겔 촉성형식이 헤키 고유형일 경우 스피너 L-함수의 중심 임계값에 관한 보처러의 추측을 유도한다.
• 이 결과는 글로벌 내림 방법과 토타 대응을 활용하여 거의 동치인 일반형 자동형 표현 $ \pi^\circ $를 구성함으로써, 기존의 L-값 결과를 활용할 수 있도록 한다.
• 지역 L-매개변수와 온도성 L-패킷 내 일반형 표현의 유일성을 활용하여, 모든 자리 $ v $ 에서 $ \pi_v \simeq \pi'_v $ 임을 보여, 글로벌로 $ \pi \simeq \pi' $ 임을 증명한다.