[논문 리뷰] Refined inequalities for the numerical radius of Hilbert space operators

Pintu Bhunia, Suvendu Jana외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 26.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 힐버트 공간 위의 유계 선형 연산자의 수치적 반경에 대한 기존 부등식을 개선하기 위해 연산자의 실수부와 허수부를 포함한 새로운 더 날카운 상한과 하한을 제시한다. 주요 기여는 $ w(A) $ 에 대한 날카운 하한으로, $ \|A\| $, $ \|\Re(A)\pm\Im(A)\| $ 를 포함하며, $ \|A^*A + AA^*\| $ 를 포함하는 $ w^2(A) $ 에 대한 개선된 상한이다. 이는 Kittaneh 및 다른 이들의 고전적 결과를 향상시킨다.

ABSTRACT

We present some new upper and lower bounds for the numerical radius of bounded linear operators on a complex Hilbert space and show that these are stronger than the existing ones. In particular, we prove that if $A$ is a bounded linear operator on a complex Hilbert space $\mathcal{H}$ and if $\Re(A)$, $\Im(A)$ are the real part, the imaginary part of $A$, respectively, then $$ w(A)\geq\frac{\|A\|}{2} +\frac{1}{2\sqrt{2}} \Big | \|\Re(A)+\Im(A)\|-\|\Re(A)-\Im(A)\| \Big | $$ and $$ w^2(A)\geq\frac{1}{4}\|A^*A+AA^*\|+\frac{1}{4}\Big| \|\Re(A)+\Im(A)\|^2-\|\Re(A)-\Im(A)\|^2\Big|. $$ Here $w(.)$ and $\|.\|$ denote the numerical radius and the operator norm, respectively. Further, we obtain refinement of inequalities for the numerical radius of the product of two operators. Finally, as an application of the second inequality mentioned above, we obtain an improvement of upper bound for the numerical radius of the commutators of operators.

연구 동기 및 목표

• 복소 힐버트 공간 위의 유계 선형 연산자의 수치적 반경에 대해 더 날카운 상한과 하한을 유도하는 것.
• 특히 Kittaneh와 Yamazaki의 결과에 기반한 기존의 연산자 노름과 수치적 반경을 연결한 부등식을 개선하는 것.
• 실수부와 허수부의 구조적 성질을 활용하여 연산자의 곱과 교환자에 대한 수치적 반경의 부등식을 개선하는 것.
• Fong과 Holbrook의 결과를 초월하여 일반화된 교환자 $ AXB \pm BYA $ 의 수치적 반경에 대해 더 날카운 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 삼각 부등식과 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 의 성질을 활용하여 $ w(A) $ 에 대한 새로운 하한을 유도하며, 항등식 $ \langle Ax,x\rangle = \sqrt{\langle\Re(A)x,x\rangle^2 + \langle\Im(A)x,x\rangle^2} $ 를 활용한다.
• 개선된 부등식을 설정: $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| + \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\| - \|\Re(A)-\Im(A)\|\right| $, 이는 고전적 부등식 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $ 를 강화한다.
• 이차 하한을 제안: $ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| + \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right| $, 이는 Kittaneh의 부등식을 개선한다.
• 이러한 부등식을 곱 $ B^*A $ 에 적용하여 $ w^{2r}(B^*A) $ 에 대한 개선된 부등식을 도출하며, Dragomir 및 Hedarbeygi 등 이전 결과를 향상시킨다.
• 개선된 $ w^2(A) $ 부등식을 활용하여 교환자 $ AXB \pm BYA $ 의 수치적 반경에 대해 더 날카운 상한을 유도하며, 연산자 노름과 실수부/허수부 노름을 통합한다.
• 코시-슈바르츠 부등식과 정규화 기법을 사용하여 스케일링을 통해 계약형 연산자에서 일반 연산자로 부등식을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 하한 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $ 는 $ A $ 의 실수부와 허수부를 사용하여 개선될 수 있는가?
• RQ2 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 의 노름은 $ A $ 의 수치적 반경에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 $ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| $ 부등식은 $ \Re(A) \pm \Im(A) $ 를 포함하는 추가 항을 통합함으로써 날카롭게 개선될 수 있는가?
• RQ4 새로운 $ w^2(A) $ 부등식은 연산자의 곱과 교환자의 수치적 반경에 대해 개선된 추정치를 이끌어내는가?
• RQ5 새로운 $ w(AXB \pm BYA) $ 부등식은 Fong과 Holbrook, 또는 Hirzallah과 Kittaneh의 기존 결과보다 엄밀히 더 낫게 되는가?

주요 결과

• 논문은 새로운 하한을 확립한다: $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| + \frac{1}{2\sqrt{2}}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\| - \|\Re(A)-\Im(A)\|\right| $, 이는 고전적 부등식 $ w(A) \geq \frac{1}{2}\|A\| $ 보다 엄밀히 개선된다.
• 개선된 이차 부등식이 증명된다: $ w^2(A) \geq \frac{1}{4}\|A^*A + AA^*\| + \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right| $, 이는 Kittaneh의 부등식을 강화한다.
• 곱 $ B^*A $ 에 대해 부등식 $ w^{2r}(B^*A) \leq \frac{1}{2}\left(\frac{\||B|^2|A|^2 + |A|^2|B|^2\|}{2}\right)^r + \frac{1}{4}\||B|^{4r} + |A|^{4r}\| $ 이 도출되며, Hedarbeygi 등 이전 결과를 개선한다.
• 일반화된 교환자 $ w(AXB \pm BYA) $ 의 부등식은 $ \leq 2\sqrt{2}\|B\|\max\{\|X\|,\|Y\|\}\sqrt{w^2(A) - \frac{1}{4}\left|\|\Re(A)+\Im(A)\|^2 - \|\Re(A)-\Im(A)\|^2\right|} $ 로 개선되었으며, Fong과 Holbrook의 결과보다 날카롭다.
• 새로운 $ w(AXB \pm BYA) $ 부등식은 일반적으로 Hirzallah과 Kittaneh의 부등식과 비교할 수 없으며, 반례를 통해 이를 보여준다.
• 보조정리 3.8은 개선된 부등식에서 등호가 성립하는 것은 $ \|\Re(A)+\Im(A)\| = \|\Re(A)-\Im(A)\| $ 일 때 뿐이며, 개선된 추정치에서 등호 조건을 위한 필수 조건을 제공한다.