[논문 리뷰] Refined restricted inversion sequences

Dongsu Kim, Zhicong Lin|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 제한된 역순서열에 대한 정교한 통계를 조사하며, 000을 피하는 역순서열과 Simsun 순열 사이에 새로운 이분사함수를 수립하여 제한된 이중 오일러 분포를 증명한다. 또한, Martínez와 Savage의 추측을 정교화하고 증명하여 집합 $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$가 $n$-번째 Baxtter 수로 세어짐을 보이며, 고정된 커널 방법을 사용한다.

ABSTRACT

Recently, the study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch and Mansour-Shattuck independently. Motivated by their works and a double Eulerian equidistribution due to Foata (1977), we investigate several classical statistics on restricted inversion sequences that are either known or conjectured to be enumerated by {\em Catalan}, {\em Large Schröder}, {\em Baxter} and {\em Euler} numbers. One of the two highlights of our results is a fascinating bijection between $000$-avoiding inversion sequences and Simsun permutations, which together with Foata's V- and S-codes, provide a proof of a restriced double Eulerian equdistribution. The other one is a refinement of a conjecture due to Martinez and Savage that the cardinality of $\I_n(\geq,\geq,>)$ is the $n$-th Baxter number, which is proved via the so-called {\em obstinate kernel method} developed by Bousquet-Mélou.

연구 동기 및 목표

• 제한된 역순서열에 대한 정교한 통계, 특히 상승수, 고유한 원소, 마지막 원소를 조사한다.
• 000을 피하는 역순서열과 Simsun 순열 사이에 새로운 이분사함수를 통해 연결을 수립한다.
• Martínez와 Savage의 정교화된 추측을 증명하여 $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$가 $n$-번째 Baxtter 수로 세어짐을 입증한다.
• 제한된 역순서열에서 상승 다항식의 실근성과 단조성에 대해 탐구한다.
• V- 및 S-코드를 사용하여 고전적인 오일러 분포를 제한된 역순서열로 확장한다.

제안 방법

• 000을 피하는 역순서열과 Simsun 순열 사이에 이분사함수를 구성하여 패턴을 피하는 역순서열과 순열 통계를 연결한다.
• Foata의 V- 및 S-코드를 적용하여 역순서열에서 제한된 이중 오일러 분포를 증명한다.
• 고정된 커널 방법을 사용하여 $|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$임을 증명한다.
• 생성함수와 조합적 구성 방법을 사용하여 제한된 역순서열에서 상승수와 고유 원소의 분포를 분석한다.
• 보 구성에 대한 귀납법과 행/열 변환을 활용하여 고유 원소와 마지막 원소의 생성함수를 동치로 이룹니다.
• Simsun 순열에 대한 역상 상승 다항식 $E_n(t)$를 도입하고, 실근성을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 000을 피하는 역순서열과 Simsun 순열 사이에 내림차순과 상승 통계의 분포가 일치하는 이분사함수는 존재하는가?
• RQ2 집합 $\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$의 원소 수가 실제로 $n$-번째 Baxtter 수인가?
• RQ3 Simsun 순열의 상승 다항식은 실근을 가지며, 로그-볼록성과 단조성을 만족하는가?
• RQ4 기본적인 $\mathfrak{S}_n$에서의 이중 오일러 분포는 제한된 역순서열로 정교화되고 확장될 수 있는가?
• RQ5 제한된 역순서열에서 고유 원소와 마지막 원소의 생성함수 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 000을 피하는 역순서열과 Simsun 순열 사이에 이분사함수를 구성하여 제한된 이중 오일러 분포의 조합적 증명을 제공한다.
• Martínez와 Savage의 추측이 고정된 커널 방법을 통해 $|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$임을 증명한다.
• Simsun 순열에 대한 역상 상승 다항식 $E_n(t)$가 $n = 2$부터 $6$까지 실근을 가짐을 보이며, 실근성 추측을 뒷받침한다.
• 보 변환에 대한 구성 기반 귀납적 추론을 통해 제한된 역순서열에서 상승수와 고유 원소의 생성함수를 동치로 이룹니다.
• $\mathbf{I}_n$에서의 상승 분포가 $\mathfrak{S}_n$과 일치하며, 상승수와 마지막 원소의 공동 분포가 $\mathfrak{S}_n$과 $\mathbf{I}_n$ 사이에서 동일하게 분포된다.
• 역상 상승 다항식 $E_n(t)$의 첫 번째 값들을 계산하여 $E_2(t) = 1 + t$, $E_3(t) = 4t + t^2$, $E_4(t) = 4t + 11t^2 + t^3$, $E_5(t) = 2t + 32t^2 + 26t^3 + t^4$, $E_6(t) = t + 52t^2 + 161t^3 + 57t^4 + t^5$임을 확인한다.