[논문 리뷰] Refinements of Mitrinović-Cusa inequality

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 21.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Mitrinović-Cusa 부등식을 개선하여 $\frac{\sin x}{x}$에 대해 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ 형태의 날카운 경계를 도입한다. 이는 $x \in (0, \pi/2)$ 에서 다음 부등식 체인이 성립하는 것과 동치이며, $p \in [p_1, 1)$ 및 $q \in (0, 1/\sqrt{5}]$ 를 만족한다. 여기서 $p_1 \approx 0.45347$ 이다. 함수 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 는 $(0,1]$ 에서 엄밀히 감소하며, 고전적 부등식을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The Mitrinović-Cusa inequality states that for x\in(0,π/2) (cos x)^{1/3}

연구 동기 및 목표

• 삼각함수 형태 $(\cos px)^{1/(3p^2)}$ 를 이용하여 $\frac{\sin x}{x}$ 에 대해 더 날카운 경계를 도입함으로써 고전적 Mitrinović-Cusa 부등식을 개선하는 것.
• $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해 부등식 체인 $(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$ 이 성립하기 위한 최적의 $p$ 및 $q$ 값을 결정하는 것.
• $(0,1]$ 에서 함수 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 의 단조성을 증명하여 엄밀히 감소함을 보이는 것.
• 적분에 대한 정확한 추정치를 제공하고, $\sin x/x$ 와 $\ln(\sin x)$ 를 포함하는 적분에 대해 날카운 경계를 유도하며, 개선된 부등식을 이용해 캐틀란 상수 $G$ 에 대한 날카운 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 저자들은 함수 $F_p(x) = \frac{\ln(\sin x / x)}{\ln(\cos px)}$ 를 정의하고, 베르누이 수를 포함한 $\cot x$ 와 $\tan x$ 의 급수 전개를 이용하여 그 단조성을 분석한다.
• 미분 가능 함수의 비율 단조성에 관한 보조정리 1 을 활용하여 $F_p(x)$ 가 증가하거나 감소하는 조건을 도출함으로써 $\frac{\sin x}{x}$ 에 대한 경계를 확립한다.
• 급수 전개(보조정리 2)와 삼각함수의 적분 표현을 사용하여 $\frac{\sin x}{x}$ 와 $\cos(px)$ 를 포함하는 부등식을 유도한다.
• $F_p(x)$ 가 $x = 0^+$ 와 $x = \pi/2^-$ 에서의 행동을 분석함으로써, 개선된 부등식 체인이 성립하는 최적의 $p$ 와 $q$ 를 도출한다.
• 적분 구간 $[0, \pi/4]$ 와 $[0, \pi/2]$ 에서 개선된 경계를 통합하여 $\ln(\sin x)$ 와 $x^2 / \sin^2 x$ 의 적분을 추정하고, 이를 바탕으로 캐틀란 상수 $G$ 를 경계하는 데 사용한다.
• 개선된 부등식 $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)}$ 에 $q = 1/\sqrt{5}$ 를 적용하여 적분 표현을 통해 $G$ 에 대한 날카운 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해 $(\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x}$ 가 성립하는 최대 $p$ 는 무엇인가?
• RQ2 모든 $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해 $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)}$ 가 성립하는 최소 $q$ 는 무엇인가?
• RQ3 함수 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 는 $(0,1]$ 에서 엄밀히 감소하는가?
• RQ4 개선된 경계를 이용하여 $\sin x/x$ 와 $\ln(\sin x)$ 를 포함하는 적분에 대해 날카운 추정치를 도출할 수 있는가?
• RQ5 개선된 부등식을 통해 캐틀란 상수 $G$ 에 대한 향상된 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $(\cos x)^{1/3} < (\cos px)^{1/(3p^2)} < \frac{\sin x}{x}$ 는 모든 $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해 성립하며, 이는 $p \in [p_1, 1)$ 일 때에만 성립한다. 여기서 $p_1 \approx 0.45346830977067$ 이다.
• $\frac{\sin x}{x} < (\cos qx)^{1/(3q^2)} < \frac{2+\cos x}{3}$ 는 모든 $x \in (0, \pi/2)$ 에 대해 성립하며, 이는 $q \in (0, 1/\sqrt{5}]$ 일 때에만 성립한다.
• 함수 $p \mapsto (\cos px)^{1/(3p^2)}$ 는 $(0,1]$ 에서 엄밀히 감소하며, 고전적 경계 사이의 연속적인 보간을 제공한다.
• 개선된 부등식을 이용하여 적분 $\int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx$ 에 대해 날카운 경계를 확립하였으며, 다음을 얻는다: $-\frac{\pi}{8}\left(2 + \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right) < \int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx < -\frac{\pi}{4}\left(2\ln 2 + 1 + \frac{\pi^2}{288} - \ln\pi\right)$.
• 캐틀란 상수 $G$ 에 대해 세 가지 새로운 날카운 경계를 도출하였다: $\frac{\sqrt{6}\pi}{2\sqrt{16\sqrt{3}-\pi^2}} < G < \frac{3}{32}\pi^2$, $\frac{\pi}{2}\left(\ln 2 - \ln\pi + \frac{\pi^2}{288} + 1\right) < G < \frac{\pi}{4}\left(2 - \ln 2 - \frac{\pi^2}{72}\right)$, $\frac{\pi^2}{16} - \frac{\pi}{4}\ln 2 + \frac{8}{5}(172 - 99\sqrt{3}) < G < \frac{\pi^2}{320}(37 + 6\sqrt{3}) - \frac{\pi}{4}\ln 2$.