[논문 리뷰] Reflected Backward SDEs with General Jumps

S. Hamadene, Y. Ouknine|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 20.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 독립적인 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 일반적인 점프를 가진 일중 및 이중 장벽 반사 후행 확률 미분 방정식(RBSDE)의 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 RCLL(오른쪽 연속이며 왼쪽 극한이 존재하는) 반사 과정의 점프가 예측 가능하거나 비가시적이지 않다는 제약 없이도 가능한 한, 페널라이제이션, 스넬 최대화이론, 바나흐 공간 내 고정점 추론을 조합하여 다루는 데 성공한다.

ABSTRACT

In the first part of this paper we give a solution for the one-dimensional reflected backward stochastic differential equation (BSDE for short) when the noise is driven by a Brownian motion and an independent Poisson point process. The reflecting process is right continuous with left limits (rcll for short) whose jumps are arbitrary. We first prove existence and uniqueness of the solution for a specific coefficient in using a method based on a combination of penalization and the Snell envelope theory. To show the result in the general framework we use a fixed point argument in an appropriate space. The second part of the paper is related to BSDEs with two reflecting barriers. Once more we prove the existence and uniqueness of the solution of the BSDE.

연구 동기 및 목표

• 소음이 브라운 운동과 독립적인 포아송 랜덤 측도에 의해 구동될 때, 일반적인 RCLL 반사 과정을 가진 일차원 반사 BSDE의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 모코보드스키 가설 하에 이중 장벽으로의 이론을 확장하여, 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 이전 연구에서 요구된 바와 같이 반사 과정의 점프가 비가시적이거나 예측 가능해야 한다는 제약 조건을 제거하여 이전 결과를 일반화하는 것.
• 불완전한 시장에서의 콘버터터블 본드와 같은 금융 파생상품에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것, 여기서는 불연속적인 장벽이 자연스럽게 나타남.
• 점프-디퓨전 노이즈 하에서, 불연속적인 장벽을 가진 변동부등식의 점성해를 BSDE 프레임워크를 통해 열어가는 것.

제안 방법

• 반사 BSDE를 근사하기 위해 페널라이제이션 방법을 사용하여, 표준 BSDE의 해가 반사 방정식의 해로 수렴하는 수열을 구성한다.
• 주어진 과정을 지배하는 최소 초마르팅게일을 특성화하기 위해 스넬 최대화이론을 적용한다. 이는 반사 제약 조건을 다루는 데 핵심적이다.
• 포아송에 의해 구동되는 BSDE에서 비교 원리가 존재하지 않는다는 점을 고려하여, 일반적인 리프시츠 계수에 대해 해의 존재성을 증명하기 위해 적절한 바나흐 공간 내의 적응 과정에 대한 고정점 추론을 활용한다.
• 스넬 최대화이의 도우브-마이어 분해를 통해 마르팅게일과 예측 가능한 증가 과정으로 분해하여 반사 과정의 구조를 분석한다.
• 최적 정지 시점의 존재를 보장하기 위해 스넬 최대화이에 정규성 조건을 도입하여 반사 메커니즘의 특성화를 돕는다.
• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 생성된 필터레이션 내에서의 일반적인 선택적 및 예측 가능 과정 이론에 의존하여, 예측 가능한 사영과 쌍대 예측 가능한 사영의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 과정이 RCLL이며 임의의 점프를 가지며, 노이즈가 브라운 운동과 포아송 성분을 모두 포함할 때, 반사 BSDE의 해의 존재성과 유일성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ2 점프 계수를 가진 BSDE에서 비교 원리가 존재하지 않는다는 점을 어떻게 극복하여 해의 존재성과 유일성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 특히 장벽이 불연속적일 경우, 이중 장벽 반사 BSDE의 해가 존재하고 유일하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 점프-디퓨전 노이즈 하에서, 반사 과정의 구조는 스넬 최대화이와 도우브-마이어 분해와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 일반적인 점프를 가진 반사 BSDE의 이론을 불연속적인 장벽을 가진 변동부등식의 점성해로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 소음이 브라운 운동과 독립적인 포아송 랜덤 측도에 의해 구동될 때, 리프시츠 계수를 가진 일중 반사 BSDE의 해의 존재성과 유일성이 입증된다.
• 해는 페널라이제이션 기법과 스넬 최대화이 이론을 조합하여 구성되며, 이로써 해가 RCLL 반사 장벽 위에 유지됨을 보장한다.
• 점프 변수 $v$ 에 따라 변하는 일반적인 계수에 대해서는, 과정들의 바나흐 공간 내 고정점 추론을 통해 유일한 해를 도출할 수 있으며, 비교 원리의 부재를 극복한다.
• 반사 과정 $K$ 는 예측 가능하며, 그 점프는 $\Delta_t K^d = (\eta_{t-} - R(\eta)_t)^+ \mathbf{1}_{\{R(\eta)_{t-} = \eta_{t-}\}}$ 를 만족함을 보여주어 스넬 최대화이의 행동과 직접 연결된다.
• 스넬 최대화이가 정규일 경우 최적 정지 시점 $\tau_t$ 가 존재하며, $R(\eta)_{\tau_t} = \eta_{\tau_t}$ 를 만족함으로써 과정이 장벽에 도달하는 첫 번째 시점에서 반사가 달성됨을 보장한다.
• 이중 장벽의 경우, 모코보드스키 가설 하에 존재성과 유일성이 증명되어 일반적인 점프 역학을 가진 이중 반사 BSDE 이론으로의 확장을 이룬다.