[논문 리뷰] Reflected Backward Stochastic Difference Equations and Optimal Stopping Problems under g-expectation

Lifen An, Samuel N. Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한 상태를 가진 이산 시간에서 반사적 후행 확률 차분 방정식(RBSDEs)의 존재성, 유일성 및 비교 정리들을 수립하며, g-기대에 대한 최적 정지 문제와 연관지운다. 이는 불완전 시장에서 미국형 상당권리의 최소 초과헤지 가격을, 거래 전략에 대한 최대값을 포함하는 드라이버를 통해 RBSDEs가 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study reflected backward stochastic difference equations (RBSDEs for short) with finitely many states in discrete time. The general existence and uniqueness result, as well as comparison theorems for the solutions, are established under mild assumptions. The connections between RBSDEs and optimal stopping problems are also given. Then we apply the obtained results to explore optimal stopping problems under $g$-expectation. Finally, we study the pricing of American contingent claims in our context.

연구 동기 및 목표

• 이산 시간에서 유한 상태 공간을 가진 반사적 후행 확률 차분 방정식(RBSDEs)에 대한 엄밀한 이론을 구축하는 것.
• 약한 조건 하에서 RBSDE 해의 존재성, 유일성 및 비교 정리를 수립하는 것.
• RBSDEs를 g-기대 하의 최적 정지 문제와 연결하는 것.
• 이 틀을 불완전 금융 시장에서 미국형 상당권리의 가격 결정에 적용하는 것.

제안 방법

• 유한 상태 마코프 과정과 마틴갈 데르바이언스를 사용하여 이산 시간에서 RBSDEs를 수립한다.
• 해의 유일성을 확보하기 위해 마틴갈 데르바이언스 과정의 이차변동을 통해 동치관계를 정의한다.
• 반사 조건을 강제하는 증가과정을 최대값으로 표현하기 위해 이산 스토로호드 보조정리를 증명한다.
• 패널티 방법을 사용하여 RBSDEs의 해 존재성을 확립한다.
• 해의 가치 과정이 정지 시간의 기대 할인 수익의 최대값과 같음을 보여줌으로써 RBSDE 해를 최적 정지 문제와 연결한다.
• 미국 옵션에 이 이론을 적용하기 위해, 초과헤지 가격을 허용 가능한 거래 전략에 대한 최대값을 포함하는 드라이버를 가진 RBSDE의 해로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 상태를 가진 이산 시간에서 반사적 후행 확률 차분 방정식(RBSDEs)이 어떤 조건에서 유일한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 RBSDEs는 g-기대 하의 최적 정지 문제의 가치를 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 RBSDEs와 불완전 시장에서 미국형 상당권리의 최소 초과헤지 가격 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 이산 시간에서의 g-기대 프레임워크는 다중 사전 마틴갈과 도오브-마이어 분해와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 볼록/볼록이 아닌 생성자와 함께 RBSDE의 해는 혼합 최적 정지-제어 문제를 나타낼 수 있는가?

주요 결과

• 드라이버 $ \bar{f}(t,y,z) = -r_t y + \sup_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $, 종료 조건 $ \xi_T $, 하한 장벽 $ \xi_t $를 가진 RBSDE의 해는 미국형 상당권리의 최소 초과헤지 가격과 같다.
• 드라이버 $ \underline{f}(t,y,z) = -r_t y + \inf_{\theta \in \Theta} \{ z^* \theta_t \} $를 가진 RBSDE의 해는 최대 부분헤지 가격을 제공한다.
• 드라이버와 장벽에 대한 약한 조건 하에서 반사 제약의 패널티화를 통해 RBSDE 해의 존재성이 증명된다.
• RBSDE의 비교 정리는 한 드라이버가 다른 드라이버를 지배할 경우, 해당 해 역시 지배함을 보장한다.
• RBSDE 해는 동적 프ogram밍 원리를 만족한다: $ Y_t = \sup_{\tau} \mathbb{E}^Q[ \sum_{t \leq s < \tau} \bar{f}(s,Y_s,Z_s) + \xi_\tau \mid \mathcal{F}_t ] $, 이는 최적 정지 문제와 연결된다.
• 이산 시간에서의 g-기대 프레임워크는 도오브-마이어 분해와 선택 샘플링 정리를 지원하며, 리델의 의미에서 다중 사전 마틴갈과 동치이다.