[논문 리뷰] Reflected BSDE driven by G-Brownian motion with an upper obstacle

Hanwu Li, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 상한 장애물이 있는 G-브라운 운동에 의해 구동되는 반사적 후행 확률미분방정식(RBSDEs)의 해가 존재하고 유일함을 입증한다. 이를 위해 퇴적 방법과 변형된 비교 정리 정리를 사용하였으며, 해는 주어진 제약 조건 하에서 가능한 한 가장 큰 해임을 보였다. 이는 고전적 RBSDE 이론을 비선형 G기대 프레임워크로 확장한 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we study the reflected backward stochastic differential equation driven by G-Brownian motion (reflected G-BSDE for short) with an upper obstacle. The existence is proved by approximation via penalization. By using a variant comparison theorem, we show that the solution we constructed is the largest one.

연구 동기 및 목표

• 상한 장애물이 있는 G-브라운 운동 설정에서 반사적 BSDE 이론을 확장한다.
• 비선형 기대 프레임워크 하에서 반사적 G-BSDE의 해가 존재함을 입증한다.
• 제안된 해가 장애물 제약 조건 하에서 가능한 모든 해들 중에서 가장 크다는 것을 변형된 비교 정리를 통해 증명한다.
• 특히 불확실성 볼라티리티 모델에 대해 고전적 RBSDE 결과를 완전히 비선형 G-프레임워크로 일반화한다.
• 비지배적 확률 측도와 약한 컴acts가 부족한 G기대 설정에서 발생하는 과제를 다룬다.

제안 방법

• 상한 장애물에 대한 증가하는 퇴적 항을 포함하는 G-BSDE의 수열을 구성하기 위해 퇴적 근사 방법을 사용한다.
• 상한 장애물 제약 조건을 강제하기 위해 항 $ n\backslashint_{t}^{T}(Y_{s}^{n}-S_{s})^{+}ds $ 를 정의한다.
• G기대 하에서의 비교 정리의 변형을 사용하여 퇴적된 방정식의 해들을 비교한다.
• Itô의 공식을 $ \bar{Y}_{t}^{\alpha/2}e^{rt} $ 에 적용하여 사전 추정치를 도출하고 유일성을 증명한다.
• $ S_G^\alpha(0,T) $ 내의 원소들의 균일 연속성을 활용하여 $ M_G^\beta(0,T) $ 내에서 약한 컴acts의 부족함을 극복한다.
• 경로별 유일성을 확보하기 위해 증가 과정 $ A $ 에 대해 분해 조건 $ A = A^1 - A^2 $ 을 도입하며, $ -A^1 $ 은 감소하는 G마르티니갈이고 $ A^2 $ 는 증가하는 것으로 간주한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-프레임워크 내에서 상한 장애물이 있는 반사적 G-BSDE는 해를 갖는가?
• RQ2 장애물 제약 조건 하에서 해가 가능한 한 가장 큰 해로 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 표준 도구인 Fatou의 보조정리가 직접 적용되지 않는 비선형 G기대 설정에서 퇴적 방법은 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ4 비지배적 확률 측도가 존재하는 상황에서 해의 유일성은 어떤 조건에서 보장되는가?
• RQ5 비결정적 이차변동을 포함하는 G-BSDE에 대해 비교 정리는 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 상한 장애물이 있는 반사적 G-BSDE의 해는 존재하며, 퇴적 근사 체계를 통해 구성된다.
• G기대 하에서의 변형 비교 정리를 사용하여 해가 가능한 모든 해들 중에서 가장 크다는 것이 증명되었다.
• 증가 과정 $ A $ 에 대한 추가적인 분해 조건 $ A = A^1 - A^2 $ 을 만족할 경우, 해의 유일성이 확립된다. 여기서 $ -A^1 $ 은 감소하는 G마르티니갈이고 $ A^2 $ 는 증가한다.
• 약한 컴acts의 부족함에도 불구하고, G-바나흐 공간에서의 적절한 수렴을 통해 퇴적 수열 $ (Y^n, Z^n, L^n - K^n) $ 이 해로 수렴함을 증명하였다.
• Itô의 공식을 $ \bar{Y}_{t}^{\alpha/2}e^{rt} $ 에 적용하여 사전 추정치를 도출하였으며, 이로 인해 $ \hat{\mathbb{E}}[\int_0^T (Z_s - \tilde{Z}_s)^2 d\langle B\rangle_s] = 0 $ 이 되어 $ Z \equiv \tilde{Z} $ 를 유도한다.
• 해는 스코로호드 유형 조건 $ \int_0^T (S_s - Y_s) dA_s^2 = 0 $ 를 만족하여 증가 과정의 최소 간섭을 보장한다.