[논문 리뷰] Reflexivity and dualizability in categorified linear algebra

Martin Brandenburg, Alexandru Chirvăsitu외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 분류된 선형 대수학의 맥락에서 반사성과 이중가능성에 대해 연구하며, 특히 코완전한 선형 범주인 코모듈 범주와 준완전층 범주를 중심으로 다룬다. 코일레브라가 가산 차원을 가지는 경우, 그 코모듈 범주는 항상 반사적임을 보이며, 유한한 프로젝티브가 존재하는 경우에만 이중가능하다는 것을 증명함으로써, 반완전 코일레브라의 범주적 특성화를 제공한다. 또한, 특정 스택(예: 양의 특성에서의 단순군의 분류 스택) 위의 준완전층 범주는 이중가능하지 않지만, 거의 선형적으로 재조정 가능한 군에 의해 몫을 취한 스택 위의 준완전층 범주는 이중가능하다는 것을 증명하고, 인덱싱 포지티브가 가산인 아핀 인드-스킴에 대해 텐서성질을 확립한다.

ABSTRACT

The "linear dual" of a cocomplete linear category $\mathcal C$ is the category of all cocontinuous linear functors $\mathcal C o \mathrm{Vect}$. We study the questions of when a cocomplete linear category is reflexive (equivalent to its double dual) or dualizable (the pairing with its dual comes with a corresponding copairing). Our main results are that the category of comodules for a countable-dimensional coassociative coalgebra is always reflexive, but (without any dimension hypothesis) dualizable if and only if it has enough projectives, which rarely happens. Along the way, we prove that the category $\mathrm{Qcoh}(X)$ of quasi-coherent sheaves on a stack $X$ is not dualizable if $X$ is the classifying stack of a semisimple algebraic group in positive characteristic or if $X$ is a scheme containing a closed projective subscheme of positive dimension, but is dualizable if $X$ is the quotient of an affine scheme by a virtually linearly reductive group. Finally we prove tensoriality (a type of Tannakian duality) for affine ind-schemes with countable indexing poset.

연구 동기 및 목표

• 분류된 선형 대수학의 맥락에서 어떤 코완전한 선형 범주가 반사적 또는 이중가능한지 이해하기.
• 코모듈 범주에서 충분한 프로젝티브의 존재와 같은 구조적 성질을 통해 이중가능성을 특성화하기.
• 스택과 인드-스킴 위의 준완전층 범주가 언제 이중가능하거나 텐서성질을 갖는지 결정하기.
• 가산 인덱싱 포지티브를 갖는 아핀 인드-스킴에 대해 텐카니안 이중화(텐서성질)를 확장하기.
• 특히 양의 특성에서 기하학적 맥락에서 유도된 이중가능성과 유도되지 않은 이중가능성의 대비를 명확히 하기.

제안 방법

• 지역적으로 완전한 선형 범주와 공연속 함자를 쓰는 2-범주와 $\boxtimes$-텐서 곱을 사용하여 선형 대수학의 분류화를 구현한다.
• 이중가능성은 $Σ ⊗ Σ^* \to \mathrm{End}(\u03a3)$의 동치를 통해 정의하고, 반사성은 자연스러운 사상 $\u03a3 \to (\u03a3^*)^*$를 통해 정의한다.
• 대수에 대한 아이レン버그–오픈스 정리를 적용하여 모듈 범주의 이중가능성을 확립하며, 코일레브라에는 이러한 정리의 부재를 대비한다.
• 특히 프로젝티브의 존재를 중심으로 기하학적 및 표현론적 기준을 사용하여 스택 위의 준완전층 범주를 분석한다.
• 선형적으로 재조정 가능한 군과 거의 선형적으로 재조정 가능한 군에 대한 결과를 적용하여 몫 스택 범주의 이중가능성을 결정한다.
• 인덱싱 포지티브가 가산인 아핀 인드-스킴에 대해, 프로대수에서의 준동형사상이 극한 범주 간의 대칭 모노이드 함수와 대응됨을 보여 이중성(2-아핀성)을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코일레브라 위의 코모듈 범주는 언제 반사적 또는 이중가능한가?
• RQ2 스택 $X$에 대해 어떤 기하학적 또는 표현론적 조건이 $\mathrm{Qcoh}(X)$가 이중가능하거나 이중가능하지 않은지를 결정하는가?
• RQ3 코모듈 범주에서 충분한 프로젝티브의 존재는 이중가능성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 몫 스택 $[X/G]$ 위의 준완전층 범주는 언제 이중가능한가?
• RQ5 어떤 조건에서 아핀 인드-스킴이 텐서성질을 갖는가? 즉, 그 준완전층 범주가 텐카니안 유형의 재구성 성질을 만족하는가?

주요 결과

• 가산 차원을 갖는 코associative 코일레브라 위의 코모듈 범주는 항상 반사적이다.
• 코일레브라 위의 코모듈 범주는 충분한 프로젝티브를 갖는 경우에만 이중가능하며, 이 조건은 오른쪽 반완전성으로 알려져 있다.
• 스킴 $X$가 양의 차원을 갖는 닫힌 프로젝티브 부분스킴을 포함하면, $\mathrm{Qcoh}(X)$는 이중가능하지 않다.
• 가상으로 선형적으로 재조정 가능한 군 $G$가 아핀 스킴 $X$에 작용하는 경우, 범주 $\mathrm{Qcoh}([X/G])$는 이중가능하다.
• 인덱싱 포지티브가 가산인 아핀 인드-스킴은 텐서성질을 갖는다: 그 준완전층 범주는 텐카니안 재구성 성질을 만족한다.
• 수용 가능한 가환 프로대수에서 대칭 모노이드로 가는 함자는 완전한 함수이며, 이는 이러한 인드-스킴에 대해 2-아핀성을 확립한다.