[논문 리뷰] Regime Switching Stochastic Volatility with Perturbation Based Option Pricing

Sovan Mitra|ArXiv.org|2009. 04. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 50인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 푸크의 점진 전개 기법을 확장하여 장기적 경제적 제도를 통합한, 제도 전환을 고려한 확률적 변동성 모델을 위한 편미분 기반 옵션 가격 정책을 제안한다. 제도별 변동성 평균을 고려함으로써 블랙-쇼울즈 모델 대비 30% 이상, 표준 푸크 가격 정책 대비 20% 이상의 가격 오차를 감소시켜 S&P 500 옵션에서 정확도를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Volatility modelling has become a significant area of research within Financial Mathematics. Wiener process driven stochastic volatility models have become popular due their consistency with theoretical arguments and empirical observations. However such models lack the ability to take into account long term and fundamental economic factors e.g. credit crunch. Regime switching models with mean reverting stochastic volatility are a new class of stochastic volatility models that capture both short and long term characteristics. We propose a new general method of pricing options for these new class of stochastic volatility models using Fouque's perturbation based option pricing method. Using empirical data, we compare our option pricing method to Black-Scholes and Fouque's standard option pricing method and show that our pricing method provides lower relative error compared to the other two methods.

연구 동기 및 목표

• 제도 전환을 고려한 확률적 변동성 모델에 대해 단기적 동적 특성과 장기적 경제적 요인을 동시에 반영하는 분석적 옵션 가격 정책의 부족을 해결하기 위해.
• 푸크의 편미분 기반 옵션 가격 정책 프레임워크를 평균 회귀적 확률적 변동성과 함께 제도 전환을 통합하도록 확장하기 위해.
• S&P 500 지수 옵션을 이용해 제안된 방법을 블랙-쇼울즈 및 표준 푸크 가격 정책과 실증적으로 검증하기 위해.
• 다양한 변동성 제도에서의 상대 오차를 비교함으로써 가격 정책 정확도 향상 정도를 정량화하기 위해.

제안 방법

• 확률적 변동성에 대해 푸크의 점진 전개 방법을 응용하며, 느린 평균 회귀적 변동성 과정을 포함한 다스케일 접근법을 사용한다.
• 숨겨진 마르코프 상태 변수에 따라 장기적 변동성 평균과 회귀 속도를 제도에 따라 다르게 설정함으로써 제도 전환을 도입한다.
• 편미분 전개의 일阶 보정 항인 $ \tilde{C}_1 $을 유도하며, 이는 제도별로 다를 수 있는 변동성 리스크와 스마일 효과를 반영한다.
• 다양한 만기 및 행사가에 걸쳐 S&P 500 옵션 실증 데이터를 사용해 모델 매개변수를 校정한다.
• 옵션 가격을 급수 전개 형태로 계산한다: $ C = C_0 + \tilde{\rho} C_1 + \text{고차항들} $, 여기서 $ C_0 $는 블랙-쇼울즈 가격이며 $ C_1 $은 제도별 보정 항을 포함한다.
• 경제 제도(예: '상승' 및 '하락' 상태)를 모델링하기 위해 이중 상태 마르코프 체인을 사용하며, 각 제도에 대해 별도의 $ \bar{\theta}_i $ 와 $ \bar{\rho}_i $ 를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸크의 편미분 기반 옵션 가격 정책 방법을 평균 회귀적 확률적 변동성과 함께 제도 전환을 고려한 모델로 확장할 수 있는가?
• RQ2 제도별로 다른 변동성 매개변수를 통합할 경우, 일정하거나 제도별로 구분되지 않은 확률적 변동성 모델 대비 옵션 가격 오차가 감소하는가?
• RQ3 편미분 방법은 다양한 경제 제도에서 변동성 스마일과 기울기 효과를 얼마나 잘 반영하는가?
• RQ4 제도 기반의 $ \bar{\theta}_i $ 를 사용할 경우, 단일 전역적 $ \bar{\theta} $ 를 사용할 때보다 실제 가격 정책 정확도가 얼마나 향상되는가?

주요 결과

• 제도 전환 편미분 방법은 S&P 500 옵션에서 평균 백분율 가격 오차를 6.9%로 줄였으며, 블랙-쇼울즈 모델의 30.0% 및 표준 푸크 가격 정책의 7.3% 대비 유의미하게 향상되었다.
• 하향 제도(제2 제도)에서는 블랙-쇼울즈의 평균 오차가 51.5%로 상승하지만, 제도 기반 방법은 오차를 9.1%로 유지하여 급격한 시장 압력 상황에서도 안정성을 보였다.
• 일阶 보정 항 $ \tilde{\rho} C_1 $ 은 변동성 스마일 효과를 반영하며, 이는 하향 제도에서 시장 리스크와 가격 충격 간 상관관계 $ \rho $ 가 증가함에 따라 더욱 두드러진다.
• 모델은 다양한 행사가와 만기 기간에서 실증 옵션 가격을 성공적으로 재현하였으며, 가격 경로가 관측된 시장 데이터와 밀접하게 일치하였다.
• 제도별 장기적 변동성 평균 $ \bar{\theta}_i $ 의 통합은 특히 고변동성 및 시장 압력 상황에서 정확도 향상에 크게 기여하였다.
• 실증 결과는 하향 제도에서 변동성 리스크가 더 높으며, 이는 $ \rho $ 와 $ \bar{\theta}_i $ 의 증가를 통해 모델이 이를 반영함으로써 스마일 및 기울기 효과를 더 잘 모델링할 수 있음을 확인하였다.