[논문 리뷰] Region of Attraction for Power Systems using Gaussian Process and Converse Lyapunov Function -- Part I: Theoretical Framework and Off-line Study

Chao Zhai, Hung D. Nguyen|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 09.

Gaussian Processes and Bayesian Inference참고 문헌 36인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 해석적 리아푸노프 함수가 필요 없이 전력 시스템의 안정 영역(ROA)을 추정하기 위한 새로운 가우시안 프로세스(GP) 기반 프레임워크를 제안한다. 이는 역 리아푸노프 정리와 GP-UCB 샘플링을 활용하여 탐색과 이용의 균형을 이룬다. 방법은 안정된 상태 궤적에서 알려지지 않은 리아푸노프 함수를 학습하고, 보증된 ROA 내에서 평균적으로 평형점으로 수렴함을 보장하며, 전통적인 해석적 리아푸노프 방법에 비해 훨씬 더 큰 영역을 추정한다.

ABSTRACT

This paper introduces a novel framework to construct the region of attraction (ROA) of a power system centered around a stable equilibrium by using stable state trajectories of system dynamics. Most existing works on estimating ROA rely on analytical Lyapunov functions, which are subject to two limitations: the analytic Lyapunov functions may not be always readily available, and the resulting ROA may be overly conservative. This work overcomes these two limitations by leveraging the converse Lyapunov theorem in control theory to eliminate the need of an analytic Lyapunov function and learning the unknown Lyapunov function with the Gaussian Process (GP) approach. In addition, a Gaussian Process Upper Confidence Bound (GP-UCB) based sampling algorithm is designed to reconcile the trade-off between the exploitation for enlarging the ROA and the exploration for reducing the uncertainty of sampling region. Within the constructed ROA, it is guaranteed in probability that the system state will converge to the stable equilibrium with a confidence level. Numerical simulations are also conducted to validate the assessment approach for the ROA of the single machine infinite bus system and the New England $39$-bus system. Numerical results demonstrate that our approach can significantly enlarge the estimated ROA compared to that of the analytic Lyapunov counterpart.

연구 동기 및 목표

• 기존 ROA 추정 방법이 해석적으로 유도된 리아푸노프 함수에 의존하는 데서 비롯되는 한계를 해결하기 위해, 이는 종종 이용 불가능하거나 과도하게 보수적인 경우가 많다.
• 시스템 동역학에서 유도된 안정된 상태 궤적을 기반으로 데이터 기반 프레임워크를 개발하여 해석적 리아푸노프 함수의 명시적 필요성을 제거한다.
• 가우시안 프로세스 회귀를 통한 불확실성 정량화를 통합하여 사용자가 지정한 신뢰 수준에서 ROA의 확률적 보장을 제공한다.
• 탐색(새로운 영역 탐색)과 이용(유망한 영역 확장)을 최적화하는 GP-UCB 기반 샘플링 전략을 설계하여 ROA를 효율적으로 확장한다.
• 기존 리아푸노프 함수가 존재할 경우 이를 데이터 기반으로 개선하여 보수성을 줄이고 ROA를 확장할 수 있도록 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• 프레임워크는 안정된 상태 궤적을 바탕으로 리아푸노프 함수의 존재를 보장하는 역 리아푸노프 정리를 활용하여 해석적 구성이 필요 없도록 한다.
• 알 수 없는 리아푸노프 함수는 가우시안 프로세스(GP)로 모델링되며, 커널 방법과 정규화를 사용하여 샘플된 궤적 데이터에서 사후 분포를 학습한다.
• GP-UCB 기반 샘플링 알고리즘을 사용하여 반복적으로 새로운 샘플링 점을 선택하며, 불확실성 감소(탐색)와 ROA 확장(이용)의 균형을 이룬다.
• ROA는 학습된 GP 기반 리아푸노프 함수의 등고선 집합으로 정의되며, GP의 평균과 신뢰 구간에서 유도된 확률적 경계를 포함한다.
• 계산된 영역 내의 임의의 상태에 대해, 시스템이 평형점으로 수렴할 확률이 최소 $1 - \delta$ 이상임을 보장하며, 여기서 $\delta$는 사용자가 정의한 신뢰 수준 파라미터이다.
• RKHS 노름과 농도 부등식을 사용하여 GP 추정 오차의 이론적 경계를 유도함으로써, 확률적 ROA 보증의 타당성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 리아푸노프 함수가 필요 없이 가우시안 프로세스 기반 비모수적 접근법을 사용하여 전력 시스템의 안정 영역을 추정할 수 있는가?
• RQ2 샘플링 과정에서 불확실성 감소(탐색)와 ROA 확장(이용) 사이의 상호 균형을 효과적으로 관리할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법이 기존 해석적 리아푸노프 함수 기반 접근법에 비해 얼마나 더 큰 보증된 ROA를 제공할 수 있는가?
• RQ4 기존에 알려진 리아푸노프 함수가 존재할 경우, 이 프레임워크를 어떻게 확장하여 ROA를 개선하고 확장할 수 있는가?
• RQ5 리아푸노프 함수 추정의 불확실성 하에서 추정된 ROA의 확률적 정확성에 대한 이론적 보장은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 GP 기반 ROA 추정 방법은 IEEE 39-bus 시스템에서 검증된 결과, 해석적 리아푸노프 함수 기반 방법에 비해 보증된 안정 영역을 크게 증가시킨다.
• 단일 기계 무한 버스 시스템과 뉴잉글랜드 39-bus 시스템에서의 수치 시뮬레이션 결과, 이 방법은 확률적 수렴 보장을 유지하면서 더 큰 ROA를 달성함을 확인하였다. 신뢰 수준 $1 - \delta$를 유지한다.
• GP-UCB 샘플링 전략은 탐색과 이용을 효과적으로 균형 잡아, 최소한의 샘플링 포인트로도 ROA를 효율적이고 효과적으로 확장한다.
• 이 방법은 엄밀한 확률적 경계를 제공한다: 계산된 영역 $\Omega_{\delta,N}$ 내의 임의의 상태에 대해, 시스템은 확률 최소 $1 - \delta$ 이상으로 평형점으로 수렴한다.
• 기존 리아푸노프 함수 $V^\star(\mathbf{x})$ 가 존재할 경우, 프레임워크는 GP를 통해 차이 $\Delta V(\mathbf{x}) = V(\mathbf{x}) - V^\star(\mathbf{x})$ 를 학습함으로써 그 보증된 ROA를 확장할 수 있으며, 보수성을 향상시킨다.
• 이론적 분석을 통해 추정된 리아푸노프 함수 $V(\mathbf{x})$ 가 GP 사후 평균 주위의 신뢰 구간 내에 높은 확률로 존재함을 확인하였으며, 이는 등고선 기반 ROA의 타당성을 보장한다.