[논문 리뷰] Regional controllability of anomalous diffusion generated by the time fractional diffusion equations

Fudong Ge, YangQuan Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 31.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 경우에 대해 시간 분수형 확산 방정식의 지역적 제어 가능성을 조사한다: 유계 제어 연산자 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 와 비유계 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 인 경우이다. 발드란의 정리와 힐버트 유일성 방법(HUM)을 사용하여 최소 에너지 지역적 제어 가능성을 위한 조건을 수립하고, 비정상 확산을 제어하는 복잡한 시스템에서 부분 영역에 대한 최적 제어의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the investigation of the regional controllability of the time fractional diffusion equations. First, some preliminaries and definitions of regional controllability of the system under consideration are introduced, which promote the existence contributions on controllability analysis. Then we analyze the regional controllability with minimum energy of the time fractional diffusion equations on two cases: $B\in \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$ and $B otin \mathbf{L}\left(\mathbf{R}^m, L^2(Ω) ight)$. In the end, two applications are given to illustrate our obtained results.

연구 동기 및 목표

• 정수계수에서 시간 분수형 확산 방정식으로의 제어 가능성 분석을 확장한다.
• 전체 시스템의 제어 가능성 대신 상태 공간의 부분집합에서의 제어 가능성인 지역적 제어 가능성에 대해 연구한다.
• 유계 및 비유계 제어 연산자인 두 경우에 대해 최소 에너지 지역 제어 가능성을 위한 조건을 수립한다.
• 공 ing 및 물리적 시스템에서 비정상 확산 과정을 제어하기 위한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 연산자 $ A $ 가 생성하는 강한 연속 반군을 사용하여 캄프로 분수도수 도함수를 사용한 시간 분수형 확산 시스템을 수립한다.
• 제어 연산자가 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 인 경우 발드란의 정리를 적용하여 최소 에너지 제어의 존재를 증명한다.
• 제어 연산자가 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 인 경우, 특히 딜라 함수를 통한 점 제어를 위해 힐버트 유일성 방법(HUM)을 적용한다.
• 힐베르트 공간 $ L^2(\Omega) $ 내에서 해와 수반 연산자를 표현하기 위해 미타그레플레르 함수와 고유함수 전개를 사용한다.
• 수반 시스템과 등장사상 매핑을 통해 최소 에너지 문제의 해로 최적 제어를 유도한다.
• 두 적용 사례를 통해 결과를 검증한다: 부분구간에 대한 분포 제어와 딜라 함수를 이용한 점 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 연산자가 유계일 경우, 시간 분수형 확산 방정식이 최소 에너지로 지역적으로 제어 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 제어 연산자가 비유계일 경우, 예를 들어 딜라 함수를 통한 점 제어와 같은 경우 지역적 제어 가능성이 달성될 수 있는가?
• RQ3 수반 연산자의 구조와 미타그레플레르 함수가 최적 제어의 존재에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 하위영역 $ \omega \subset \Omega $ 의 기하학적 구조는 약한 또는 근사 제어 가능성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 이론적 프레임워크는 분수형 초확산 또는 관측 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제어 연산자가 $ B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 인 경우, 발드란의 정리를 통해 최소 에너지 지역 제어 가능성이 보장되며, 최적 제어의 존재가 보장된다.
• 제어 연산자가 $ B \notin \mathcal{L}(\mathbb{R}^m, L^2(\Omega)) $ 인 경우, 힐버트 유일성 방법(HUM)을 통해 지역적 제어 가능성에 대한 최소 에너지 제어의 존재를 보장한다.
• 예제 4.1에서, $ a_2 - a_1 \in \mathbb{Q} $ 이면 $[0,1]$ 에서 시스템은 약하게 제어 가능하지 않지만, $[a_1, a_2] \subset [0,1]$ 에서는 지역적으로 제어 가능하다.
• 점 제어 $ Bu = u(t)\delta(x-b) $ 의 경우, 최적 제어는 $ u^*(t) = (T-t)^{-0.3} \sum_{i=1}^\infty E_{0.7,0.7}(\lambda_i (T-t)^{0.7}) (z, \xi_i)_{L^2} \int_{a_1}^{a_2} \xi_i(x) dx $ 로 유도된다.
• 수반 방정식 $ ^C D_t^{0.7} \varphi_1 = \partial_{xx} \varphi_1 + (T-t)^{-0.3} K_{0.7}^*(T-t) f(b) $ 의 해를 통해 최적 제어를 구성할 수 있다.
• 최소 에너지 문제에는 적어도 하나의 최적 해가 존재하며, 이는 각각의 경우에 대해 정리 3.1 및 정리 3.2에 의해 확인된다.