[논문 리뷰] Regression Analysis of Proportion Outcomes with Random Effects

Colman Humphrey, Daniel Swingley|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 22.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 [0,1] 범위로 끝점에 집중된 비율 결과에 대해 부트스트랩 기반 추론을 사용하는 혼합효과 로지스틱 회귀 모델을 제안한다. 고정효과와 임의효과를 사용하여 비율의 로그오즈를 모델링하고, 비모수적 부트스트랩을 통해 신뢰구간을 보정함으로써 정규근사가 실패할 경우에도 정확한 커버리지 성능을 달성한다. 시뮬레이션 연구에서 기존 표준 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.

ABSTRACT

A regression method for proportional, or fractional, data with mixed effects is outlined, designed for analysis of datasets in which the outcomes have substantial weight at the bounds. In such cases a normal approximation is particularly unsuitable as it can result in incorrect inference. To resolve this problem, we employ a logistic regression model and then apply a bootstrap method to correct conservative confidence intervals. This paper outlines the theory of the method, and demonstrates its utility using simulated data. Working code for the R platform is provided through the package glmmboot, available on CRAN.

연구 동기 및 목표

• 비율 데이터가 [0,1]로 제한되어 있고, 결과가 0과 1에 집중되어 있을 경우 선형 회귀 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 0과 1을 중간 값과 동일한 개념적 의미로 다루는 회귀 프레임워크를 개발하여 경계값과 연속값을 별도로 모델링하는 것을 피하기 위해.
• 시험 수준의 예측변수를 분석에 유지하여, 피험자나 조건별로 데이터를 요약함으로써 발생하는 검정력 손실과 편향을 방지하기 위해.
• 혼합효과 로지스틱 모델에서 발생하는 보수적인 신뢰구간을 비모수적 부트스트랩 절차를 적용하여 보정하기 위해.
• 실제 연구자들이 사용할 수 있도록 R 코드를 통해 CRAN에 공개된 glmmboot 패키지를 통해 구현 가능한 실용적이고 계산적으로 실행 가능한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 예측된 비율을 로지스틱 링크 함수로 모델링: E[Y_i | x_i] = logit^(-1)(x_i'β + z_i*u), 여기서 u는 임의효과를 나타낸다.
• 고정효과 β와 임의효과 u를 동시에 추정할 수 있는 혼합효과 로지스틱 회귀 프레임워크를 사용하여, 피험자 수준 및 시험 수준의 공변량을 모두 수용한다.
• 잔차를 비모수적 방식으로 재표본 추출하고 모델 파라미터를 재추정함으로써, 추론을 위한 경험적 표집분포를 생성한다.
• 부트스트랩 분포의 백분위수를 사용하여 고정효과의 신뢰구간을 구성함으로써, 표준 월드 신뢰구간에 내재된 보수적 편향을 보정한다.
• 정규성 가정을 피하기 위해 로지스틱 링크를 통해 분산 구조를 모델링함으로써 과분산과 경계 효과를 제어한다.
• R을 통해 glmmboot 패키지를 구현하여, 사용자가 최소한의 코드로 이 방법을 적용하고 보정된 추론을 얻을 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 비율 결과에서 0과 1에 질량이 집중되어 있고, 선형 모델이 비정규 오차와 경계 위반으로 인해 실패할 경우, 부트스트랩 보정을 적용한 혼합효과 로지스틱 회귀 모델이 타당한 추론을 제공할 수 있는가?
• RQ2 혼합효과 로지스틱 모델을 사용할 때, 부트스트랩 보정이 표준 월드 구간에 비해 신뢰구간 커버리지 성능을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 시험 수준의 예측변수를 포함할 경우, 데이터를 피험자나 조건별로 요약하는 것과 비교해 통계적 검정력과 정확도를 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ4 임의효과의 수준 수가 증가함에 따라 부트스트랩 보정 구간의 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 표준 컴퓨팅 자원을 사용하여 이 방법을 실용적으로 구현할 수 있으며, 베타 회귀나 두 부분 모델에 비해 실용적인 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 부트스트랩 보정된 신뢰구간은 다양한 시뮬레이션 조건에서 근사적으로 명목상의 커버리지(약 95%)를 달성하지만, 기본 모델은 매우 보수적이어서 명목상 5% 오차율일 때 약 2%의 경우에만 기각한다.
• 임의효과의 수준 수가 적더라도 커버리지가 안정적이고 정확하게 유지되며, 그룹 크기가 클수록 성능이 略적으로 더 우수하다.
• 부트스트랩 구간은 기본 구간보다 체계적으로 좁으며, Y의 분산이 증가할수록(즉, ρ가 감소할수록) 너비 비율(부트스트랩/기본)이 감소함으로써 적절한 스케일링이 이루어짐을 나타낸다.
• 이 방법은 시험 수준의 예측변수를 성실히 유지하여, 데이터 요약으로 인한 해상도 손실과 검정력 감소 문제를 방지한다.
• 구간 너비 비율의 스무스 스퍼플라인 피팅 결과, 부트스트랩 구간이 기본 구간 대비 적절하게 축소됨을 보여주며, 향후 응용에 대한 힌트가 될 수 있는 히우리스틱을 제시한다.
• R 패키지 glmmboot는 이 방법의 실용적 구현을 가능하게 하여 연구자들이 실제 경계가 있는 비율 데이터에 대해 보정된 추론을 적용할 수 있도록 지원한다.