[논문 리뷰] Regular and Biregular module algebras

Christian Lomp|ArXiv.org|2008. 09. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 호프 모듈러 대수와 그 스매시 곱이 정규 또는 이중정규가 되는 조건을 확립하며, 바나흐 정규 스케우 그룹환에 대한 결과를 일반화한다. 이는 $H$-모듈러 대수 $A$가 정규임과 그 고정환 $A^H$가 정규이며, 불변성 함자 $(-)^H$가 $A^H$-모듈과 $A$가 $A\#H$-모듈로 간주될 때의 위자우어 카테고리 사이의 동치를 유도함과 동시에 동치 결과를 이중정규성에 대해 $A^e\bowtie H$를 사용하여 일반화한다. 주요 기여는 불변량과 모듈 이론적 동치를 통한 호프 모듈러 대수에서 정규성의 구조적 특성화이다.

ABSTRACT

Motivated by the study of von Neumann regular skew groups as carried out by Alfaro, Ara and del Rio in 1995 we investigate regular and biregular Hopf module algebras. If $A$ is an algebra with an action by an affine Hopf algebra $H$, then any $H$-stable left ideal of $A$ is a direct summand if and only if $A^H$ is regular and the invariance functor $(-)^H$ induces an equivalence of $A^H$-Mod to the Wisbauer category of $A$ as $A# H$-module. Analogously we show a similar statement for the biregularity of $A$ relative to $H$ where $A^H$ is replaced by $R=Z(A)\cap A^H$ using the module theory of $A$ as a module over $A\otimes A^{op} \bowtie H$ the envelopping Hopf algebroid of $A$ and $H$. We show that every two-sided $H$-stable ideal of $A$ is generated by a central $H$-invariant idempotent if and only if $R$ is regular and $A_m$ is $H$-simple for all maximal ideals $m$ of $R$. Further sufficient conditions are given for $A# H$ and $A^H$ to be regular.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 정규 스케우 그룹환에 대한 결과를 호프 모듈러 대수의 맥락으로 일반화하기 위해.
• 모듈러 대수 $A$의 정규성을 고정환 $A^H$의 정규성과 불변성 함자의 행동을 통해 기술하기 위해.
• 포락 호프 앨레로이드 $A^e\bowtie H$와 중심 불변 부분환 $R = Z(A) \cap A^H$를 사용하여 정규성 특성화를 이중정규 모듈러 대수로 확장하기 위해.
• 스매시 곱 $A\#H$와 고정환 $A^H$의 정규성을 적분과 추적 1인 중심 원소를 통해 충분한 조건으로 제공하기 위해.
• 적절한 호프 대수 작용 하에서 $A$의 포함된 부분환인 고정환 $A^H$로의 임베디드 정규성과 단순성의 전이를 조사하기 위해.

제안 방법

• 스무프링 환형 사상 $\Psi: B \to \mathrm{End}_k(A)$를 통해 추가적인 모듈러 구조를 갖춘 $A\subseteq B$ 확장의 프레임워크를 사용하여, $A$가 왼쪽 $B$-모듈로서 순환임을 보장한다.
• 모듈러의 정규성 개념과 위자우어 카테고리 $\sigma[M]$을 적용하며, 여기서 모듈러 $M$이 정규임은 $\sigma[M]$ 내의 모든 모듈러가 평탄하거나, $\sigma[M]$ 내의 모든 짧은 정규열이 순수함을 의미한다.
• 이중정규성 연구를 위해 포괄 호프 앨레로이드 $A^e\bowtie H$를 사용하며, 특성화에서 $A^H$ 대신 $R = Z(A) \cap A^H$를 사용한다.
• 호프 대수 $H$ 내의 오른쪽 적분과 $S(t)\cdot z = 1$을 만족하는 중심 원소 $z$의 존재를 이용하여 $A\#H$의 분리 가능성과 정규성을 확립한다.
• 블라튼-몬트고메리 이중성의 응용을 통해 $({A\#H})\#H^*$와 $M_n(A)$ 사이의 동형을 유도함으로써 $A\#H$에서 $A$로의 정규성 전이를 가능하게 한다.
• 모듈러 이론적 동치와 함자적 동형 $\mathrm{Hom}_B(A, -) \cong (-)^B$를 기반으로 불변량과 모듈러 구조를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 대수 $H$-모듈러 대수 $A$가 스매시 곱 $A\#H$에 대한 모듈러로서 정규가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정환 $A^H$가 정규가 되는 조건는 무엇이며, 이는 $A$가 $A\#H$-모듈로서의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 모듈러 대수 $A$의 이중정규성은 중심 불변 부분환 $R = Z(A) \cap A^H$의 정규성과 $R$의 극대 이상수 $m$에 대해 $A_m$이 $H$-단순임과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 만약 $A$가 정규이고 $H$가 추적 1인 중심 원소를 갖는 오른쪽 적분으로 작용한다면, $A\#H$가 정규가 되는 조건는 무엇인가?
• RQ5 확장에 대해 평탄성과 자기-정규성 조건이 만족될 경우, $A$에서 $A^H$로의 단순성 전이 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $A$가 $A\#H$-모듈로서 정규임과 동시에 $A^H$가 정규이며, 불변성 함자 $(-)^H$가 $A^H$-Mod와 $A$가 $A\#H$-모듈로 간주될 때의 위자우어 카테고리 사이의 동치를 유도함과 동시에 동치 결과를 이중정규성에 대해 $A^e\bowtie H$를 사용하여 일반화한다.
• 모듈러 대수 $A$의 양측 $H$-안정 이상수는 정규이자 중심 $H$-불변 아이디포턴트에 의해 생성된다. 이는 $R = Z(A) \cap A^H$가 정규이며, $R$의 모든 극대 이상수 $m$에 대해 $A_m$이 $H$-단순임과 동치이다.
• 만약 $H$가 국소 유한 호프 대수이며 오른쪽 적분 $t$가 존재하여 $S(t)\cdot z_t = 1$을 만족하는 중심 원소 $z_t \in A$가 존재한다면, $A\subseteq A\#H$는 국소 분리 가능하며, $A$가 정규이면 $A\#H$ 역시 정규이다.
• 만약 $H$가 코코무티티이거나 $z_t \in Z(A)^H$이면, $A$가 정규이고 $H$가 추적 1인 중심 원소로 작용한다면 $A\#H$는 정규이다.
• 만약 $A$가 정규이고 $A\#H$-모듈로서 왼쪽 자기-정규이면, $H$가 오른쪽 적분 $t$를 갖고, $A$가 $S(t)\cdot z = 1$을 만족하는 중심 원소 $z$를 갖는다면, $A^H$ 역시 정규이자 왼쪽 자기-정규이다.
• 만약 $H$가 유한 차원이면서 코세미심플이면, $A\#H$의 정규성은 블라튼-몬트고메리 이중성과 동형 $({A\#H})\#H^* \cong M_n(A)$를 통해 $A$로의 정규성 전이를 가능하게 한다.