[논문 리뷰] Regular and exact (virtual) double categories

Patrick Schultz|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가상 이중 범주와 proarrow 장비의 맥락에서 고전적인 정규 및 정확 범주를 일반화한 정규 및 정확한 구조를 도입한다. 이는 Cat에서의 bijective-on-objects/완전한 함자적 분해와 유사한 분해 체계를 수립하고, 이 틀에서의 정확성은 Wood의 Axiom 5와 tight Kleisli 객체의 존재성과 동치임을 증명하며, 형식적 범주론의 핵심 구성요소들을 통합한다.

ABSTRACT

We propose definitions of regular and exact (virtual) double categories, proving a number of results which parallel many basic results in the theory of regular and exact categories. We show that any regular virtual double category admits a factorization system which generalizes the factorization of a functor between categories into a bijective-on-objects functor followed by a fully-faithful functor. Finally, we show that our definition of exact double category is equivalent to an axiom proposed by Wood, and very closely related to the "tight Kleisli objects" studied by Garner and Shulman.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 정규 및 정확 범주 계층을 가상 이중 범주와 proarrow 장비의 맥락으로 확장하기 위해.
• 정규 가상 이중 범주를 정의하고 Cat에서의 bijective-on-objects/완전한 함자적 분해를 일반화한 분해 체계를 수립하기 위해.
• 정확한 가상 이중 범주를 정의하고, Wood의 Axiom 5와 Garner–Shulman의 tight Kleisli 객체와의 동치성을 보여주기 위해.
• proarrow와 사상 간 철학적 구분을 존중하는 형식적 범주론의 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 가상 이중 범주에서의 모노이드의 붕괴를 코이퀄라이저와 Kleisli 객체의 일반화로 도입한다.
• Set에서의 에피/모노 분해와 Cat에서의 bo/ff 분해를 일반화한 분해 체계의 존재를 통해 정규 가상 이중 범주를 정의한다.
• 붕괴 세포의 보편 성질을 이용해 어떤 모노이드가 proarrow를 통해 보편적 분해를 갖는지 특성화한다.
• 모나드와 그 보편 모듈(좌우) 이론을 활용해 붕괴 세포가 Kleisli 및 Eilenberg-Moore 객체와 어떻게 관련되는지 분석한다.
• proarrow 표현과 붕괴 세포를 통한 분해 간의 동치를 활용해 Wood의 Axiom 5와의 주요 동치를 증명한다.
• 프레임드 2-범주와 가상 장비 간의 동치를 활용해 이중 범주적 맥락으로부터 2-범주적 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 정규 및 정확 범주 개념은 어떻게 가상 이중 범주의 맥락으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 가상 이중 범주로 이동할 때 정규 범주에서의 분해 체계에 대한 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 Wood의 Axiom 5와 tight Kleisli 객체 이론과 일치하는 정확성의 특성은 무엇인가?
• RQ4 모노이드의 붕괴는 정확 범주에서의 코이퀄라이저와 유사한 통합적인 범주론적 구성으로서 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정규 가상 이중 범주는 Cat에서의 bijective-on-objects/완전한 함자적 분해를 일반화한 분해 체계를 갖는다.
• 가상 이중 범주에서의 모노이드 붕괴는 좌우 모듈을 포함한 보편 성질로 특성화되며, proarrow를 통한 보편적 분해에 대응한다.
• 가상 이중 범주에서의 정확성은 모든 모나드가 Kleisli 객체와 Eilenberg-Moore 객체를 모두 갖는다는 Wood의 Axiom 5와 동치이다.
• 붕괴 세포는 카르테시안이며, 다음의 표준 동형사상과 대응한다: $ M \cong c_M(1,i) \odot c_M(i,1) $, 이는 모나드 분해와의 연결 고리를 형성한다.
• 붕괴 세포를 통한 왼쪽 $ M $-모듈을 나타내는 보편 proarrow의 존재는 모든 임bedding이 붕괴를 통해 유일하게 분해됨을 보장하며, 이는 붕괴의 보편 성질을 확립한다.