[논문 리뷰] Regular black holes in three dimensions and the zero point length

Kimet Jusufi|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 08.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 중력 효과를 포함하는 정규화 절차 $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $ 를 적용하여, 3차원 반데시타르 공간(AdS)에서 정규화된 비특이성 블랙홀 해를 제안한다. 여기서 $ l_0 $ 는 양자 중력 효과를 포함하는 제로 포인트 길이를 나타낸다. 이 방법은 중력 및 전자기적 포텐셜을 수정하여 원점에서 유한한 에너지 밀도, 점 渐진적으로 AdS 기하학, 특정 조건 하에 평탄한 데 시터 핵을 제공한다. 이 해는 $ l_0 \to 0 $ 근처에서 전하가 있는 BTZ 블랙홀로 감소하며, 차원 연장과 뉴먼-자니스 알고리즘을 통해 회전하는 해로 확장된다.

ABSTRACT

In this paper, by means of regularisation procedure via $r o \sqrt{r^2+l_0^2}$ (where $l_0$ can play the role of zero point length), we first modify the gravitational and electromagnetic potentials in two dimensions and then we solve the Einstein field equations to end up with an exact and regular black hole solution in three dimensions with a negative cosmological constant. We show that, the black hole solution is asymptotically AdS, non-singular at the origin and, under specific conditions, it has a flat de Sitter core at the origin. As a special case, we obtain the charged Banados-Teitelboim-Zanelli (BTZ) solution. Finally, using a dimensional continuation and the NJ algorithm, we end up with a legitimate rotating black hole solution in three dimensions.

연구 동기 및 목표

• 양자 중력 효과를 정규화 절차를 통해 포함시켜 3차원 시공간에서 비특이성 블랙홀 해를 구성하는 것.
• 제로 포인트 길이 $ l_0 $ 를 사용하여 흐릿하게 퍼진 물질 분포를 모델링하여 원점에서 에너지 밀도의 유한성을 확보하는 것.
• 전하를 가진 3차원 AdS 공간에서 정확하고 정규화된 블랙홀 해를 유도하고, 고전적 극한에서 BTZ 해로 감소함을 확인하는 것.
• 차원 연장과 뉴먼-자니스 알고리즘을 사용하여 정적 해를 회전 블랙홀 해로 확장하는 것.

제안 방법

• 2차원 중력 포텐셜 $ \Phi \sim M\ln r $ 에 정규화 $ r \to \sqrt{r^2 + l_0^2} $ 를 적용하여 $ \Phi = kM\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}) $ 를 유도한다.
• 2차원 포아송 방정식 $ \nabla^2 \Phi = 2\pi \rho $ 를 해결하여 원점에서 유한하고 정규화된 에너지 밀도 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $ 를 도출한다.
• 전자기 포텐셜을 $ A_\mu = (-Q\ln(\sqrt{r^2 + l_0^2}), 0, 0) $ 로 수정하여 정규화된 전자기 에너지-운동량 텐서를 도출한다.
• 우주 상수 $ \Lambda = 1/l^2 $ 를 가진 아인슈타인-맥스웰 방정식을 정규화된 에너지-운동량 텐서를 사용하여 풀어 메트릭 함수 $ f(r) $ 를 유도한다.
• 3차원 해를 4차원 정적이고 구형 대칭 시공간의 $ \theta = \pi/2 $ 절단으로 삽입하여 차원 연장을 수행한다.
• 복소 좌표 변환을 통해 뉴먼-자니스 알고리즘을 적용하여 3차원에서의 회전 블랙홀 해를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 보정 정규화 절차를 사용하여 3차원 AdS 공간에서 비특이성 블랙홀 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제로 포인트 길이 $ l_0 $ 의 도입이 원점에서 에너지 밀도의 유한성과 평탄한 데시터 핵을 초래하는가?
• RQ3 정규화된 해가 고전적 극한 $ l_0 \to 0 $ 에서 표준 전하가 있는 BTZ 블랙홀로 감소하는가?
• RQ4 뉴먼-자니스 알고리즘을 사용하여 고차원 기하학으로부터 3차원에서의 회전 블랙홀 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 에너지 밀도 $ \rho(r) = \frac{kM l_0^2}{\pi (r^2 + l_0^2)^2} $ 는 원점에서 유한하고 정규화되어 있으며, $ l_0 \to 0 $ 일 때 0으로 수렴하여 양자 중력 효과로 인한 흐릿한 물질 분포를 나타낸다.
• 질량 함수 $ m(r) = \frac{kM r^2}{r^2 + l_0^2} $ 는 $ r = 0 $ 에서 0이 되며 점 渐진적으로 $ M $ 으로 수렴하여 올바른 고전적 극한을 확보한다.
• 블랙홀 해는 점 渐진적으로 AdS이며 $ f(r) \to \frac{r^2}{l^2} $ 이고, 특정 매개변수 조건 하에 $ r \to 0 $ 에서 평탄한 데시터 핵을 나타낸다.
• 해는 $ l_0 \to 0 $ 근처에서 전하가 있는 BTZ 블랙홀로 감소하여 기존 결과와 일관성을 확인한다.
• 차원 연장과 뉴먼-자니스 알고리즘을 사용하여 3차원에서의 회전 블랙홀 해를 도출하였으며, 보이어-린드퀴스트 유사 좌표계로 표현된다.
• 회전 해는 $ ds^2 = -f(r) d\tilde{t}^2 - 2a d\tilde{t} d\phi + r^2 d\phi^2 + \frac{r^2}{\Delta} dr^2 $ 로 표현되며, 여기서 $ \Delta = r^2 f(r) + a^2 $ 이고, $ f(r) $ 는 $ l_0 $ 를 통한 양자 보정을 포함한다.