[논문 리뷰] Regular conditional distributions of max infinitely divisible processes

Clément Dombry, Frédéric Éyi-Minko|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 29.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 위치에서 관측된 값에 대해 최대-무한가소적(최대-i.D.) 과정의 정규 조건부 분포에 대한 명시적 표현을 제공한다. 점 과정 표현을 활용하고, 극한 함수와 부분-극한 함수의 개념을 도입하며, 충돌 시나리오를 정의함으로써, 모든 호환 가능한 시나리오에 대한 혼합 공식을 유도한다. 이는 이전의 최대-선형 필드에 대한 결과를 일반화하며, 극단가치 이론에서 새로운 예측 도구를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the prediction problem in extreme value theory. Our main result is an explicit expression of the regular conditional distribution of a max-stable (or max-infinitely divisible) process $\{η(t)\}_{t\in T}$ given observations $\{η(t_i)=y_i,\ 1\leq i\leq k\}$. Our starting point is the point process representation of max-infinitely divisible processes by Giné, Hahn and Vatan (1990). We carefully analyze the structure of the underlying point process, introduce the notions of extremal function, sub-extremal function and hitting scenario associated to the constraints and derive the associated distributions. This allows us to explicit the conditional distribution as a mixture over all hitting scenarios compatible with the conditioning constraints. This formula extends a recent related result by Wang and Stoev (2011) dealing with the case of spectrally discrete max-stable random fields. We believe this work offers new tools and perspective for prediction in extreme value theory together with numerous potential applications.

연구 동기 및 목표

• 관측된 극단가치를 이용하여 최대-무한가소적 과정을 예측하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 왕과 스토에프(2011)의 최대-선형 필드에 대한 결과를 표본 연속적인 최대-i.D. 과정 전반에 확장하는 것.
• 충돌 시나리오의 개념을 체계화하고, 이들이 과정 분포의 조건부화에 미치는 역할을 규명하는 것.
• 점 과정 이론과 포아송 랜덤 측도 이론을 활용하여 조건부 분포의 존재성과 정규성(regularity)을 확립하는 것.
• 공간적 및 다변량 극단가치 분석에서의 예측을 위한 이론적 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 최대-i.D. 과정의 점 과정 표현을 통해 연속 함수 공간 위의 포아송 랜덤 측도 Φ를 활용한다.
• 관측된 위치에서 최댓값을 달성하는 함수를 극한 함수로 정의하고, 그렇지 않은 함수를 부분-극한 함수로 정의한다.
• 충돌 시나리오를 조건부화 위치에서 관측된 값을 결정하는 극한 함수의 색인 집합으로 정의한다.
• 관측 데이터와 호환 가능한 모든 허용 가능한 충돌 시나리오에 대한 혼합으로 정규 조건부 분포를 도출한다.
• 조건부 분포의 존재성과 가측성을 보장하기 위해 정규 조건부 확률 커널과 가측 선택 기법을 활용한다.
• 가측 원소의 수열화 및 포아송 측도의 성질과 같은 점 과정 이론의 결과를 응용하여 이론적 기반을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 개의 위치에서 관측된 자료가 주어졌을 때, 최대-i.D. 과정의 조건부 분포는 어떻게 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 충돌 시나리오가 조건부 분포의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 최대-i.D. 과정의 점 과정 표현은 정규 조건부 분포 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 최대-선형 필드에 대한 프레임워크는 최대-i.D. 과정 전체의 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 조건부 측도의 정규형 버전이 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 관측된 위치가 유한 개일 때 최대-i.D. 과정의 정규 조건부 분포는 관측 데이터와 호환 가능한 모든 허용 가능한 충돌 시나리오에 대한 혼합으로 표현된다.
• 관측값 f(s) ∈ [0,∞)^l ∆{0} 조건 하에 조건부 측도 μ(df)의 정규형 버전이 존재함을, 고리 영역 위의 가측 분해 및 정규화를 통해 엄밀히 증명하였다.
• 표본 연속적인 최대-i.D. 과정 전반에 걸쳐 왕과 스토에프(2011)의 최대-선형 필드 결과를 일반화하였다.
• 원소의 가측 선택 및 가측 커널의 구성은 조건부 분포 프레임워크의 이론적 타당성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 특히 공간적 및 다변량 극단가치에 대한 예측을 위한 새로운 일반적 도구를 제공한다.
• 극한 함수와 부분-극한 함수의 사용은 관측된 최댓값에 기여하는 기능적 기여에 기반한 조건부 분포의 구조적 분해를 가능하게 한다.