[논문 리뷰] Regular holomorphic webs of codimension one

Vincent Cavalier, Daniel Lehmann|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 n차원 복소다양체 위의 복소다양체 d-웹의 새로운 정규성 개념을 제안하며, 웹의 구조가 붕괴하는 임계 해석적 부분집합 S를 정의한다. 이 논문은 캐스텔누오보의 경계 π(n,d)보다 엄밀히 작은 상한 π′(n,d)을 정규 웹의 랭크에 대해 설정하고, M₀\S 위의 범주에서 복소다양체 접속을 구성하며, 그 곡률이 최대 랭크를 방해함을 보인다. 이 경계는 애매한 정규 웹에 대해 최적이다.

ABSTRACT

Version du 16/03/2007 Given a d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M0 (d> n), we assume that, at any point of M0, the d hyperplanes tangent to the local foliations at a point of M0 are distinct, and that there exists n of them in general position (but we do not require any n of them to be in general position). For such a web, we shall define some specific analytical subset S of M0 which-generically- has dimension ≤ n − 1 or is empty: in this case the web will be said “regular”; when-exceptionally- the set S is n-dimensional, the web will be said “special”. We prove that the rank of regular d-webs has an upper-bound π ′ (n, d) which, for n ≥ 3, is strictly smaller than the bound π(n, d) of Castelnuovo (the maximal arithmetical genus of an algebraic curve of degree d in the complex n-dimensional projective space Pn). Let c(n, h) denote the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables. The number π ′ (n, d) is then equal- to 0 for d < c(n,2),- and to P ` ´+ + h≥1 d−c(n, h) for d ≥ c(n, 2), (a) denoting the number sup (a,0) for any a ∈Z. For any regular d-web with d = c(n, h) for some h ≥ 2, we define a holomorphic connection on some holomorphic bundle E of rank π ′ (n, d) over M0 \\S, such that the set of abelian relations inject into the set of sections of E the covariant derivative of which vanishes: the curvature of this connection, which generalizes the Blaschke curvature, is then an obstruction for the rank of the web to have the maximal possible value π ′ (n, d). When n = 2, any web is regular and we recover the results of [He1]. Other examples are given. In particular, any affine regular d-web in dimension n has maximal rank π ′ (n, d), hence the optimality of this bound. 1 Regular holomorphic webs of codimension one

연구 동기 및 목표

• 복소다양체 n-다양체 위의 복소다양체 d-웹의 정규성을 정의하고 특수 웹과를 구분하기 위해, d개의 접선 초평면이 일반 위치에 있지 않은 해석적 부분집합 S를 정의한다.
• 정규 d-웹의 랭크에 대한 새로운 상한 π′(n,d)을 설정하며, 이는 캐스텔누오보의 경계 π(n,d)보다 엄밀히 작다.
• d = c(n,h), h ≥ 2일 때, M₀\S 위의 범주에서 랭크 π′(n,d)인 복소다양체 벡터 번들의 복소다양체 접속을 구성하며, 영이 되는 공변도수분의 부호가 아벨 관계를 특징짓는다.
• 정규 d-웹에서 최대 랭크를 방해하는 장애물로 블라슈케 곡률을 일반화한다.

제안 방법

• 웹이 정규일 조건을, d개의 접선 초평면이 일반 위치에 있지 않은 해석적 부분집합 S의 차원이 ≤ n−1 이거나 공집합일 때로 정의한다.
• c(n,h)를 n개 변수에서 차수 h의 동차다항식의 공간의 차원으로 정의하고, 이를 통해 h ≥ 1에 대해 max(d − c(n,h), 0)의 합으로 π′(n,d)를 정의한다.
• d = c(n,h), h ≥ 2일 때, M₀\S 위에서 랭크 π′(n,d)인 복소다양체 벡터 번들 E를 구성한다.
• E 위에 복소다양체 접속을 정의하며, 아벨 관계는 공변도수가 0인 단면과 대응된다.
• 이 접속의 곡률이 최대 가능 랭크 π′(n,d)에 도달하는 것을 방해함을 보인다.
• 아핀 정규 d-웹이 이 최대 랭크를 달성함을 확인하여, π′(n,d)의 날카로움을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소다양체 n-다양체 위의 복소다양체 d-웹이 정규일 조건은 무엇이며, 이는 각 점에서 접선 초평면의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ2 새로운 경계 π′(n,d)는 캐스텔누오보의 경계 π(n,d)와 어떻게 비교되며, 왜 n ≥ 3일 때 엄밀히 작아지는가?
• RQ3 비특이성의 국소 M₀\S 위의 범주에서, 아벨 관계가 공변도수가 0인 단면으로 특징지어지는 복소다양체 접속을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 접속의 곡률은 어떻게 블라슈케 곡률을 일반화하며, 최대 랭크를 방해하는가?
• RQ5 경계 π′(n,d)는 최적인가? 아핀 정규 d-웹은 이 경계에 도달하는가?

주요 결과

• 모든 정규 d-웹의 랭크는 π′(n,d) 이하로 제한되며, n ≥ 3일 때 캐스텔누오보의 경계 π(n,d)보다 엄밀히 작다.
• d < c(n,2)일 경우, π′(n,d)는 0이며, 이는 비자명한 아벨 관계가 존재할 수 없음을 시사한다.
• d ≥ c(n,2)일 경우, π′(n,d)는 h ≥ 1에 대해 max(d − c(n,h), 0)의 합으로 주어지며, 최대 가능 랭크에 대한 정확한 공식을 제공한다.
• d = c(n,h), h ≥ 2일 때, M₀\S 위의 랭크 π′(n,d)인 번들 위에 복소다양체 접속을 구성하며, 아벨 관계는 공변도수가 0인 단면과 대응된다.
• 이 접속의 곡률은 π′(n,d)에 도달하는 랭크를 방해하며, 고전적 경우의 블라슈케 곡률을 일반화한다.
• 아핀 정규 d-웹은 최대 랭크 π′(n,d)를 달성하며, 이는 경계 π′(n,d)의 날카로움과 최적성을 증명한다.