[논문 리뷰] Regular infinite dimensional Lie groups

Andreas Kriegl, Peter W. Michor|ArXiv.org|1998. 01. 02.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 리 이론과 유사한 강력한 미분기하학을 갖는 정규 무한차원 리 군—리 대수 곡선을 군 곡선으로 매핑하는 부드러운 진화 연산자를 갖는 군—이 존재함을 증명한다. 주요 기여는 정규 구조군을 갖는 주다발 위의 평탄한 접속이 수평 분할로 통합되며, 단순연결된 군에서의 리 대수 준동형사상이 목표 군이 정규일 경우 리 군 준동형사상으로 올라간다는 것을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Regular Lie groups are infinite dimensional Lie groups with the property that smooth curves in the Lie algebra integrate to smooth curves in the group in a smooth way (an `evolution operator' exists). Up to now all known smooth Lie groups are regular. We show in this paper that regular Lie groups allow to push surprisingly far the geometry of principal bundles: parallel transport exists and flat connections integrate to horizontal foliations as in finite dimensions. As consequences we obtain that Lie algebra homomorphisms intergrate to Lie group homomorphisms, if the source group is simply connected and the image group is regular.

연구 동기 및 목표

• 고전적 리 이론의 제한을 초월한 무한차원 리 군을 위한 기하학적 이론을 개발하기 위해.
• 많은 무한차원 리 군에서 지수 사상의 실패와 적분 가능성의 부재를 다루기 위해.
• 정규 리 군—부드러운 진화 연산자를 갖는 군—이 놀랄 만큼 완전한 미분기하학을 허용한다는 것을 보여주기 위해.
• 정규 구조군을 갖는 주다발 위의 평탄한 접속이 수평 분할로 통합된다는 것을 증명하기 위해.
• 단순연결된 정규 리 군에서의 리 대수 준동형사상이 정규일 경우 리 군 준동형사상으로 통합된다는 것을 확립하기 위해.

제안 방법

• 국소 볼록 공간 위의 매끄러운 사상에 대해 [4]의 편의 계산 프레임워크를 채택하기 위해.
• 리 대수 곡선을 군 곡선으로 통합하는 부드러운 진화 연산자가 존재함으로써 정규 리 군을 정의하기 위해.
• 주다발과 접속을 사용하여 로그 도함수에 대한 마우라-카르탕 방정식을 유도하기 위해.
• 진화 연산자가 고정된 작용과 리 괄호를 포함하는 미분방정식을 만족함을 증명하기 위해.
• C∞(R, g)와 C∞(R, G) 위에 반직접곱의 구조를 구성하여 순환 군과 관련된 군의 정규성을 보여주기 위해.
• 오른쪽 로그 도함수 δr을 사용하여 진화 사상의 핵을 식별하고, 이것이 정규 리 군임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주다발의 기하학은 정규 무한차원 리 군으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 무한차원 리 대수 사이의 리 대수 준동형사상이 어떤 조건에서 리 군 준동형사상으로 통합되는가?
• RQ3 리 군 위에 부드러운 진화 연산자가 존재하면 평탄한 접속의 적분 가능성 보장되는가?
• RQ4 순환 군 위의 진화 사상의 핵은 정규 리 군인가?
• RQ5 편의 계산 프레임워크는 정규 리 군 이론을 어떻게 지원하는가?

주요 결과

• 정규 구조군을 갖는 주다발 위의 평탄한 접속은 유한차원의 경우를 일반화하여 수평 분할로 통합된다.
• 단순연결된 정규 리 군에서의 리 대수 준동형사상은 목표 군이 정규일 경우 리 군 준동형사상으로 통합된다.
• 리 대수 g의 실수값을 갖는 매끄러운 곡선의 군 C∞(R, g)은 점별 곱셈에 대해 정규 리 군이다.
• C∞(R, G) 위의 진화 연산자는 Evolr_C∞(R,G) = C∞(R, Evolr_G)로 주어지며, 이는 곱 구조와의 호환성을 보여준다.
• 진화 사상 evolr_G: C∞(R, g) → G의 핵은 C∞((S1,1),(G,e))와 동형이며, 점별 곱셈에 대해 정규 리 군이다.
• 부분군 C∞((S1,1),(G,e))는 C∞(S1, G)의 닫힌 정규부분군이며, C∞(S1, G)는 C∞((S1,1),(G,e)) ⋊ G의 반직접곱과 동형이다.