[논문 리뷰] Regular operators between non-commutative $L_p$-spaces

Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|1993. 08. 24.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초유한 von Neumann 대수에 관련된 비가환 $L_p$-공간들 사이의 정규 연산자를 도입하며, 바나흐 격자 위의 고전적 정규 사상의 개념을 일반화한다. 어떤 사상이 정규임과 동시에 그것이 유계이고 완전히 양성인 사상들의 선형 조합임을 증명하고, Calderón의 복소 보간 방법을 사용하여 등급 보존 보간 항등식 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ ($\theta = 1/p$)를 증명한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of a regular mapping on a non-commutative $L_p$-space associated to a hyperfinite von Neumann algebra for $1\le p\le \infty$. This is a non-commutative generalization of the notion of regular or order bounded map on a Banach lattice. This extension is based on our recent paper [P3], where we introduce and study a non-commutative version of vector valued $L_p$-spaces. In the extreme cases $p=1$ and $p=\infty$, our regular operators reduce to the completely bounded ones and the regular norm coincides with the $cb$-norm. We prove that a mapping is regular iff it is a linear combination of bounded, completely positive mappings. We prove an extension theorem for regular mappings defined on a subspace of a non-commutative $L_p$-space. Finally, let $R_p$ be the space of all regular mappings on a given non-commutative $L_p$-space equipped with the regular norm. We prove the isometric identity $R_p=(R_\infty,R_1)^θ$ where $θ=1/p$ and where $(\ .\ ,\ .\ )^θ$ is the dual variant of Calderón's complex interpolation method.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 격자에서의 정규(순서 유계) 연산자의 개념을 비가환 $L_p$-공간으로 일반화하는 것.
• 모든 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해 비가환 $L_p$-공간 사이의 연산자에 대한 정규 노름을 정의하고 연구하는 것.
• 정규 연산자가 유계이고 완전히 양성인 사상들의 선형 조합임을 특성화하는 것.
• 비가환 $L_p$-공간의 부분공간에 정의된 정규 사상에 대한 확장 정리 증명하는 것.
• 정규 연산자 공간 $R_p$ 의 복소 보간 구조를 규명하여 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ ($\theta = 1/p$) 를 보여주는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 유도된 벡터 값 $L_p$-공간 기반으로, 비가환 순서 유계성의 비가환 일반화를 통해 비가환 $L_p$-공간 위의 정규 연산자를 정의한다.
• 적절한 쌍대성과 근사 성질을 확보하기 위해 초유한 von Neumann 대수의 프레임워크를 사용한다.
• 정규 연산자가 유계이고 완전히 양성인 사상들의 유한 선형 조합임을 특성화하여 구조적 분해를 확립한다.
• Calderón의 복소 보간 방법의 쌍대 형태를 적용하여 보간 공간 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ 를 분석한다.
• 보간 노름이 $"]

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 바나흐 격자 위의 정규 연산자의 개념을 비가환 $L_p$-공간으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 완전히 양성인 사상에 대한 표현으로 비가환 $L_p$-공간 사이의 정규 연산자가 어떻게 정확히 특성화되는가?
• RQ3 극한 경우 $p=1$ 과 $p=\infty$ 에서 정규 노름과 $cb$-노름은 어떻게 관련되는가?
• RQ4 정규 연산자 공간 $R_p$ 의 복소 보간 구조는 무엇인가?
• RQ5 비가환 $L_p$-공간의 부분공간에 정의된 정규 연산자는 정규 노름을 유지하면서 전체 공간으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 $L_p$-공간 사이의 선형 연산자가 정규임과 동시에 그것이 유계이고 완전히 양성인 사상들의 유한 선형 조합임과 동치이다.
• 극한 경우에서 정규 노름은 $cb$-노름과 일치한다: $p=1$ 과 $p=\infty$ 에서 정규 연산자는 정확히 완전히 유계인 연산자들이다.
• 정규 연산자 공간 $R_p$ 는 등급 보존 보간 항등식 $R_p = (R_\infty, R_1)^\theta$ ($\theta = 1/p$) 를 만족하며, 여기서 $(\cdot, \cdot)^\theta$ 는 Calderón의 복소 보간 방법의 쌍대 형태를 의미한다.
• 확장 정리가 확립되었다: 비가환 $L_p$-공간의 부분공간에 정의된 모든 정규 연산자는 동일한 정규 노름을 유지하면서 전체 공간으로 정규 확장 가능하다.
• 정규 노름 $R_p$ 는 복소 보간 노름과 등가이며, 이는 보간 구조의 쌍대성과 호환성을 확인한다.
• 결과들은 비가환 $L_p$-공간에서의 정규 연산자 이론과 비가환 함수해석학에서의 완전히 유계인 사상 및 보간 공간 이론을 통합한다.