[논문 리뷰] Regular pairings of functors and weak (co)monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 약한 (코)모나드와 함자들 사이의 정규 쌍을 연결하는 범주론적 프레임워크를 수립하며, 특정 조합 항등식을 만족하는 자연 변환으로 정의되는 이러한 쌍이 자연스럽게 약한 모나드와 코모나드를 유도함을 보여준다. 주요 기여는 정규 함자들을 통한 약한 (코)모나드와 일반화된 수반 관계 사이의 이중성으로, 고전적인 모나드-코모나드 이론을 비단 단위가 없는 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@<0.5ex>[r]^α & \Mor_\A (A,R(B))\ar@<0.5ex>[l]^β}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $α$ (or $β$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,α,β)$ with $α= α\dcirc β\dcirc α$ and $β= β\dcircα\dcircβ$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 수반 함자와 모나드 사이의 대응을 단위 조건이 느슨하게 풀어진 설정으로 일반화하기 위해.
• 전통적인 모나드가 엄격한 단위를 요구하는 데서 비롯하는 제약을 해결하기 위해, 특히 약한 호프 대수와 엔트윙드 구조에 응용할 수 있도록 하기 위해.
• 단위 제약 조건이 없는 수반 관계로부터가 아니라 정규 함자 쌍으로부터 유도된 호환 가능한 (코)모듈의 범주론적 기초를 제공하기 위해.
• 특정 조합 항등식(α·β·α = α, β·α·β = β)을 만족하는 함자 쌍과 약한 (코)모나드 사이의 이중성을 수립하기 위해.
• 약한 (코)모나드가 범주 A에서 호환 가능한 (코)모듈의 범주로의 정규 쌍을 유도함으로써, 아이レン버그-무어 구성의 일반화를 위해.

제안 방법

• 범주 A와 B 사이의 정규 함자 쌍 (L, R, α, β)를 정의하되, α: Mor_B(L(A), B) → Mor_A(A, R(B)) 및 β: Mor_A(A, R(B)) → Mor_B(L(A), B)는 자연 변환이다.
• α·β·α = α 및 β·α·β = β라는 항등식을 도입하여, 수반 함자 간의 이분사 대응을 비이분사적이지만 정규적인 설정으로 일반화한다.
• 분배 법칙을 사용하여 이러한 쌍으로부터 모듈 또는 코모듈 범주로 끌어올린 내부 함자들을 통한 약한 모나드를 구성한다.
• 도표적 추론을 사용하여 끌어올린 함자들이 약한 모나드( r-단위성) 및 약한 코모나드( r-코단위성)의 공리를 만족함을 검증한다.
• 범주 A에서의 약한 모나드와 그 모나드에 대한 호환 가능한 모듈의 범주 사이의 정규 쌍 사이의 대응을 수립한다.
• 구성을 이중화하여 약한 코모나드가 범주 A에서 호환 가능한 코모듈의 범주와 정규 쌍으로부터 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 수반 함자와 모나드 사이의 대응을 단위 조건이 필요 없는 설정으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 함자 쌍 (L, R, α, β)에 대한 어떤 구조적 조건이 유도된 합성 RL이 약한 모나드가 되도록 보장하는가?
• RQ3 엄격한 코단위가 필요 없이도 약한 코모나드를 함자 쌍으로부터 도출할 수 있는가?
• RQ4 약한 (코)모나드 설정에서 내부 함자들을 모듈 및 코모듈 범주로 끌어올리는 데 분배 법칙이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 약한 (코)모나드 구조 하에서 호환 가능한 모듈 및 코모듈의 범주들은 원래 범주와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 범주 A에서의 임의의 약한 모나드는 α·β·α = α 및 β·α·β = β를 만족하는 정규 함자 쌍 (L, R, α, β)로부터 유도된다.
• 도표 (7.5)가 교차할 경우, 내부 함자 F의 F-모듈 범주로의 끌어올림은 r-단위성 조건을 만족하는 r-단위 모나드 (F̂, μ̂, η̂)가 된다.
• 도표 (7.3)가 교차할 경우, 끌어올린 모나드 (F̂, μ̂, η̂)는 약화된 단위 조건을 만족하는 약한 모나드가 된다.
• 해당 도표들이 교차할 경우, 이중화된 구성은 F-모듈 범주에서 약한 코모나드 (Ḡ, δ̄, ε̄)를 유도한다.
• 약한 모나드에 대한 호환 가능한 모듈의 범주는 원래 범주와 정규 쌍을 이룬다. 이는 아이렌버그-무어 구성의 일반화이다.
• 이 이론은 약한 호프 대수와 약한 엔트윙드 구조를 정규 함자 쌍의 더 넓은 범주론적 맥락에 통합함으로써 통합적 프레임워크를 제공한다.