[논문 리뷰] Regular poles for spinor $L$-series attached to split Bessel models of $\mathrm{GSp}(4)$

Mirko Rösner, Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 현지체 $k$ 위에서 무한소 표현의 $\mathrm{GSp}(4,k)$에 대한 분할 Bessel 모델을 갖는 기약 smooth 표현에 대해 Piatetskii-Shapiro $L$-인자의 regular 부분을 결정한다. $P_3$-이론과 호모로지 대수학을 이용하여, 저자들은 Bessel 모듈러를 분류하고, regular $L$-인자가 분할 Bessel 모델의 선택에 영향을 받지 않음을 보이며, 이 경우에 오랫동안 기대되어 온 예측을 확인한다.

ABSTRACT

For irreducible smooth representations $Π$ of $\mathrm{GSp}(4,k)$ over a non-archimedean local field $k$, Piatetskii-Shapiro and Soudry have constructed an $L$-factor depending on the choice of a Bessel model. It factorizes into a regular part and an exceptional part. We determine the regular part for the case of split Bessel models.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 현지체 위에서 $\mathrm{GSp}(4)$ 표현에 대한 분할 Bessel 모델에 대해 Piatetskii-Shapiro $L$-인자의 regular 부분을 결정하는 것.
• regular $L$-인자가 분할 Bessel 모델의 선택에 독립적임을 입증하여 이론에서 핵심적으로 기대되어 온 예측을 해결하는 것.
• 기약 표현 $\Pi$에 대한 Bessel 모듈러 $\widetilde{\Pi}$를 분류하는 것, 특히 분할 경우에 대해.
• 정규화된 완전 몫을 통한 Bessel 모듈러의 연결을 통해 regular $L$-인자를 $L(s, \mu \otimes M)$로 연결하는 것.
• 일반 표현에 대해 Novodvorsky의 $L$-인자와의 호환성과 비-최소 표현에 대해 Langlands 매개변수와의 호환성을 확인하는 것.

제안 방법

• Bessel 모듈러 $\widetilde{\Pi} = \Pi_{\widetilde{R},\Lambda}$ 가 $TS$-모듈로서의 구조를 연구하기 위해 $P_3$-이론과 호모로지 대수학 기법을 적용한다.
• 정규화된 완전 몫 $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$ 를 이용하여 regular $L$-인자를 $L(s, \mu \otimes M)$ 와 연결한다.
• 유도 표현에 대한 필터링과 Siegel-Jacquet 모듈러 $J_P(\Pi)$ 로부터 발생하는 확장 분석을 수행한다.
• Bessel 모듈러를 체계적으로 계산하기 위해 함자 $\beta_{\rho}$, $\beta^{\rho}$ 및 멜린 함자 $M_{\rho}$ 를 활용한다.
• Roberts와 Schmidt([RS16], [RS07])의 분류 결과와 [ST94]의 표준 표현을 이용하여 경우를 열거한다.
• 모듈러의 구조를 결정하기 위해 단조성 정리와 $\pi_0(\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi})$ 의 구성요소를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 Bessel 모델을 갖는 $\mathrm{GSp}(4)$ 표현에 대해 Piatetskii-Shapiro $L$-인자의 regular 부분은 무엇인가?
• RQ2 regular $L$-인자는 분할 Bessel 모델의 선택에 독립적인가?
• RQ3 기약 $\mathrm{GSp}(4,k)$-표현의 경우 Bessel 모듈러 $\widetilde{\Pi}$ 는 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ4 일반 표현에 대해 regular $L$-인자는 Novodvorsky의 $L$-인자와 일치하는가?
• RQ5 비-최소 표현에 대해 regular $L$-인자는 Langlands 매개변수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 정규화된 $L$-인자 $L^\mathrm{PS}_{\mathrm{reg}}(s,\Pi,\mu,\Lambda)$ 는 Theorem 3.40 에서 증명된 바와 같이 분할 Bessel 모델의 선택에 영향을 받지 않는다.
• 정규화된 $L$-인자는 $M = \nu^{-3/2} \otimes \widetilde{\Pi} / \widetilde{\Pi}^S$ 가 Bessel 모듈러의 정규화된 완전 몫일 때 $L(s, \mu \otimes M)$ 으로 주어진다.
• 도수 1과 0인 정규화된 Bessel 모듈러 $\delta_P^{-1/2} \otimes \widetilde{\Pi}$ 의 완전한 분류가 각각 표 6과 표 7에 제공된다.
• 일반 $\Pi$ 에 대해 $L^\mathrm{PS}$-인자는 논문에서 확인된 linu의 $L^{\mathrm{Nov}}(s,\Pi,\mu)$ 와 일치한다.
• 비-최소 $\Pi$ 에 대해 $L^\mathrm{PS}(s,1,\Lambda)$-인자는 Roberts와 Schmidt의 분류를 통해 Langlands 매개변수와 관련된 $L$-인자와 일치한다.
• 예외적 인자는 분할 Bessel 모델의 선택에 영향을 받지 않으며, [W17] 에서 알려진 linu로, 전체 $L^\mathrm{PS}$-인자의 모델 선택에 대한 독립성을 완성한다.