[논문 리뷰] Regular Polynomial Endomorphisms of C^k

Eric Bedford, Mattias Jönsson|ArXiv.org|1998. 05. 18.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 C^k (k ≥ 2) 상의 정칙 다항형 동형사상의 역학을 조사하며, 프로젝티브 공간 P^k로 연속적으로 연장되는 2 이상의 차수를 가진 사상에 초점을 맞춘다. 무한원에서의 행동을 분석하고 외부 射선을 사용하여 평형 미세측정의 역학과 리만 구면 상의 더 단순한 시스템 사이의 준동형을 수립함으로써, 준균형 측정의 구조와 궤도가 유계인 점들의 집합 K의 구조를 상세히 기술한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of polynomial mappings f:C^k to C^k of degree at least 2 that extend continuously to projective space P^k. Our approach is to study the dynamics near the hyperplane at infinity and then making a descent to K --- the set of points with bounded orbits --- via external rays.

연구 동기 및 목표

• C^k 상의 다항형 동형사상이 P^k로 연속적으로 연장될 때의 전반적 역학을 이해하는 것.
• 이러한 사상이 무한원에서의 초평면 근처에서의 행동을 분석함으로써 전반적 역학을 이해하는 데 핵심적인 영역인 무한원 근처의 행동을 분석하는 것.
• 외부 射선을 사용하여 평형 미세측정의 역학에서 리만 구면 상의 더 단순한 시스템으로의 준동형을 수립하는 것.
• 무한원에서의 역학과 射선의 구조를 통해 궤도가 유계인 점들의 집합 K를 기술하는 것.
• 평형 미세측정과 관련된 준균형 측정의 존재성과 성질을 확립하는 것.

제안 방법

• C^k의 자연스러운 컴actification인 P^k를 사용하여 무한원에서의 역학을 연구하는 것.
• 복소역학에서 등위곡선과 射선의 일반화된 해석인 외부 射선을 적용하여 무한원의 역학을 K의 내부로 연결하는 것.
• 무한원에서의 역학을 활용하여 평형 미세측정의 지지집합에서 리만 구면으로의 준동형 사상 지도를 구성하는 것.
• 리만 구면 상의 표준 측정을 당사자로 하여 K 상의 준균형 측정을 얻기 위해 그 역상의 분석을 수행하는 것.
• 다양체의 동역학 차수와 관련된 평형 미세측정을 기반으로 한 다변수 해석 이론과 그 응용을 사용하여 불변 측정을 기술하는 것.
• 그린 함수와 그 등위집합을 분석하여 흡인 영역과 집합 K의 구조를 이해하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C^k 상의 2 이상의 차수를 가진 다항형 동형사상이 P^k로 연장될 때, 특히 무한원에서의 초평면 근처에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 외부 射선은 어떻게 무한원에서의 역학을 궤도가 유계인 점들의 집합 K로 연결하는가?
• RQ3 평형 미세측정의 역학과 리만 구면 상의 더 단순한 시스템 사이에 준동형을 구성할 수 있는가?
• RQ4 집합 K 상의 준균형 측정의 구조는 무엇이며, 평형 미세측정과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 측정의 역상에 의해 K 상의 역학이 무한원에서의 역학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 외부 射선으로 구성된 지도를 통해 평형 미세측정의 지지집합 상의 역학은 리만 구면 상의 역학과 준동형 관계에 있다.
• K 상의 준균형 측정은 준동형 지도에 의해 리만 구면 상의 표준 측정의 역상으로서 얻어진다.
• 집합 K는 준동형 지도에 의해 관련된 P^1 상의 유리함수의 조르부 집합의 역상으로 특징지워진다.
• 동형사상과 관련된 그린 함수의 등위집합은 외부 射선으로 분할되며, 복소변수의 고전적 射선 그림을 일반화한다.
• 평형 미세측정은 동형사상에 대해 불변이며, 그 지지집합은 순환점들의 폐쇄집합에 포함된다.
• K 상의 역학은 리만 구면 위의 스케일드 프로덕트 시스템과 위상적으로 동형이며, 그린의 각 섬유는 射선에 대응한다.