[논문 리뷰] Regular Separability of Well Structured Transition Systems

Wojciech Czerwiński, Sławomir Lasota외 4명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 17.

Formal Methods in Verification참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약간의 가정 하에, 두 개의 서로소 well-structured transition systems (WSTS) 언어는 항상 정규 언어로 분리 가능하다는 것을 입증한다—특히 상향 호환성 WSTS의 경우 유한 분기 또는 하향 호환성의 경우 결정성일 때이다. 핵심 기여는 일반적인 결정 가능 결과이다: 실용적으로 중요한 모든 WSTS 클래스에 대해 정규 분리 가능성은 결정 가능하며, 페트리 넷과 손실 채널 시스템을 포함한 클래스에 대해 페트리 넷의 경우 엄밀한 복잡도 한계를 확립한다.

ABSTRACT

We investigate the languages recognized by well-structured transition systems (WSTS) with upward and downward compatibility. Our first result shows that, under very mild assumptions, every two disjoint WSTS languages are regular separable: There is a regular language containing one of them and being disjoint from the other. As a consequence, if a language as well as its complement are both recognized by WSTS, then they are necessarily regular. In particular, no subclass of WSTS languages beyond the regular languages is closed under complement. Our second result shows that for Petri nets, the complexity of the backwards coverability algorithm yields a bound on the size of the regular separator. We complement it by a lower bound construction.

연구 동기 및 목표

• . 서로소 WSTS 언어가 정규 언어로 분리 가능한지 여부를 규명하는 것.
• WSTS 프레임워크 내에서 정규 분리 가능성의 결정 가능성이 성립하는 조건을 조사하는 것.
• 페트리 넷에서 정규 분리자에 대한 복잡도 한계를 유도하는 것.
• inductive invariants를 통해 형식 언어 이론과 검증 기법을 연결하는 것.
• 검증( inducive invariants)의 개념과 언어 이론(정규 분리 가능성)의 개념을 통합하는 것.

제안 방법

• . 저자들은 제품 시스템의 inductive invariants를 정규 분리자와 연결하여, 유한하게 표현 가능한 모든 불변량이 정규 분리자로 이어진다는 것을 보였다.
• 그들은 랏스 이론에서 유래한 ideal completion을 사용하여 WSTS 내에서 inductive invariants를 유한하게 표현한다.
• 페트리 넷의 경우, 뒤로 가는 커버러빌리티 알고리즘을 활용하여 커버러빌리티 집합의 유한 표현을 구성한다.
• 기본 순서가 ω2-wqo인 비결정성 WSTS를 결정성으로 변환하기 위한 변환을 도입한다.
• 결정성 페트리 넷의 경우 이중 지수 크기의 NFA 분리자를 구성하고, 재라벨링과 호모모르피즘을 통해 비결정성 경우로 확장한다.
• 특정 접미사 제약 조건을 가진 언어에 대해 최소 DFA 크기를 기반으로 삼중 지수 하한을 도출하여 결정성 유한 상태 기계(DFA) 분리자의 크기에 대해 삼중 지수 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 두 서로소 WSTS 언어가 정규 분리 가능해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 제품 시스템의 inductive invariants는 정규 분리자를 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 페트리 넷의 정규 분리자의 복잡도는 무엇이며, 결정성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 WSTS에서 정규 분리 가능성에 대해 유한 분기 또는 결정성의 가정이 필수적인가?
• RQ5 페트리 넷에서 정규 분리자의 최대 복잡도 한계는 무엇이며, 특히 DFA의 경우 최적으로는 무엇인가?

주요 결과

• . 하나의 WSTS 언어가 유한 분기(상향 호환성) 또는 결정성(하향 호환성)을 만족할 경우, 두 서로소 WSTS 언어는 항상 정규 언어로 분리 가능하다.
• 결정성 페트리 넷의 경우, 넷 크기의 합에 대해 이중 지수 크기의 정규 분리자를 구성할 수 있다.
• 일반적인 페트리 넷의 경우, 넷 크기의 합에 대해 삼중 지수 크기의 NFA 분리자가 존재한다.
• 서로소 페트리 넷에 대해 어떤 DFA 분리자도 삼중 지수 크기 이하일 수 없다는 하한이 존재한다.
• 이 결과는 정규 언어를 초월한 WSTS 언어의 어떤 부분 클래스도 보존 여부에 대해 보장되지 않음을 시사한다.
• 뒤로 가는 커버러빌리티 알고리즘이 커버러빌리티 집합의 유한 표현을 제공하며, 이는 최적 크기의 정규 분리자를 구성하는 데 사용될 수 있다.