[논문 리뷰] Regular Tur\'an numbers and some Gan-Loh-Sudakov-type problems

Stijn Cambie, Rémi de Joannis de Verclos외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 19.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 호스트 그래프가 정규 그래프여야 하는 고전적 투란 수의 변종인 정규 투란 수를 도입하고, 삼각형을 포함하지 않는 정규 그래프에 대해 날카로운 경계를 설정한다. $k$-정규 그래프가 홀수 $n$ 개의 정점으로 구성되고 $k > 2\lfloor n/5 \rfloor$일 경우, 최소 $\frac{1}{300}n^2$개의 삼각형을 포함한다는 초과포화 결과를 증명하며, 색수와 기수성에 따라 정규 투란 수가 고전적으로 또는 이질적으로 행동하는 그래프를 특성화한다.

ABSTRACT

Motivated by a Gan-Loh-Sudakov-type problem, we introduce the regular Tur\\'an numbers, a natural variation on the classical Tur\\'an numbers for which the host graph is required to be regular. Among other results, we prove a striking supersaturation version of Mantel's theorem in the case of a regular host graph of odd order. We also characterise the graphs for which the regular Tur\\'an numbers behave classically or otherwise.

연구 동기 및 목표

• 고전적 투란 이론의 자연스러운 변형으로서 호스트 그래프가 정규여야 하는 정규 투란 수를 체계화하고 연구하기.
• 특히 삼각형에 대해 기수 제약 조건 하에서 홀수 순환에 대한 정규 투란 수의 행동을 해결하기.
• 고전 결과와 상당히 다름을 보이는 정규 그래프에 대한 초과포화 결과를 확립하기.
• $\chi(H) = 3$인 그래프 $H$ 중에서 정규 투란 수가 고전적 에르되시–스톤 행동에서 벗어나는 경우를 특성화하기.
• 정규 투란 수 프레임워크를 순서와 크기 제약 조건을 모두 고려하는 갠–로프–수다코프 유형 문제와 연결하기.

제안 방법

• $n$개의 정점과 $H$-무사이클인 $k$-정규 그래프가 존재하는 최대 차수 $k$로 정의된 정규 투란 수 $\operatorname{ex}_r(n,H)$를 도입한다.
• 안드라시파이–에르되시–소스 및 헤그키스트 정리와 같은 극값 그래프 이론 도구를 적용하여, 홀수 순환을 포함하는 비이분할 그래프의 최소 차수를 유계화한다.
• 초과포화 기법을 사용하여, 홀수 $n$에서 임계 차수를 초과하는 정규 그래프가 이차 수준의 삼각형을 포함한다는 것을 증명한다.
• 볼록성 추론과 조합 항등식을 활용하여, 특히 완전 그래프의 여집합에서 극값 구성에서 삼각형 수를 최대화한다.
• 형태 분해를 통해 극값 그래프를 분석하고, 차수 쌍을 극단적 값으로 대체하면 삼각형 수가 증가함을 보인다.
• 손잡이 레미마법과 기수 제약 조건을 활용하여, 정규 삼각형 없는 그래프에 대해 날카로운 상한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $H = C_3$이고 $n$이 홀수일 때, $n$개의 정점과 $k$-정규 $H$-무사이클 그래프의 최대 차수는 얼마인가?
• RQ2 홀수 $n$일 때, 일반 그래프와 비교해 정규 그래프에서 삼각형의 초과포화 행동은 어떻게 다를까?
• RQ3 $\chi(H) = 3$인 그래프 $H$ 중에서 정규 투란 수가 고전적 에르되시–스톤 점근적 행동에서 벗어나는 경우는 무엇인가?
• RQ4 $H = C_{2\ell-1}$일 때, 정규 투란 수의 극값 그래프를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ5 순서와 크기 양쪽 제약 조건을 고려하는 갠–로프–수다코프 유형 문제에서 정규성의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 홀수 $n$에 대해 정규 투란 수 $\operatorname{ex}_r(n,K_3)$는 정확히 $2\lfloor n/5 \rfloor$이며, 이 경계는 날카롭다.
• 홀수 $n$개의 정점과 $k > 2\lfloor n/5 \rfloor$인 $k$-정규 그래프는 최소 $\frac{1}{300}n^2$개의 삼각형을 포함한다.
• $n$이 짝수일 때 $\operatorname{ex}_r(n,K_3) = \frac{n}{2}$이며, 이는 고전적 만텔의 정리와 일치한다.
• $\chi(H) \neq 3$인 그래프 $H$에 대해 정규 투란 수는 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\operatorname{ex}_r(n,H) = 1 - \frac{1}{\chi(H)-1}$를 만족하며, 이는 고전적 에르되시–스톤 정리와 일치한다.
• 논문은 색수 $\chi(H) = 3$인 모든 $H$를 특성화하여, 정규 투란 수가 비정상적으로 행동하는 경우(즉, 고전적 에르되시–스톤 행동에서 벗어나는 경우)를 두 가지 구성 방법을 통해 설명한다.
• $\operatorname{ex}_r(n,C_5)$의 극값 그래프는 유일하며, $n \geq 9$일 때 $K_{n-1}$과 $K_n \setminus M$의 여집합이다.