[논문 리뷰] Regular variation in the branching random walk

Alexander Iksanov, Sergey Polotskiy|ArXiv.org|2006. 04. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 약한 모멘트 조건과 $W_1$의 꼬리가 정규화된 변화를 갖는다는 가정 하에, 초임계 분열 랜덤 워크의 다양한 함수형에 대한 꼬리 확률—예를 들어 최대 함수 $W^*$, 제곱 함수 $S$, $L_1$ 극한 $W$, 그리고 마틴게일 차이의 Supremum $\Delta$—도 무한대에서 동일한 지수를 가진 정규화된 변화를 보임을 확립한다. 증명은 라플라스-스틸체지 변환을 피하는 비해석적 방법이며, $W$의 꼬리 행동에 대해 두 가지 서로 다른 접근법을 제공한다. 이 결과는 이 맥락에서 핵심 마틴게일 함수형 간 꼬리 정규화된 변화의 등가성에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Let $\{\mm_n, n=0,1,...\}$ be the supercritical branching random walk starting with one initial ancestor located at the origin of the real line. For $n=0,1,...$ let $W_n$ be the moment generating function of $\mm_n$ normalized by its mean. Denote by $AW_n$ any of the following random variables: maximal function, square function, $L_1$ and a.s. limit $W$, $\su |W-W_n|$, $\su |W_{n+1}-W_n|$. Under mild moment restrictions and the assumption that $ P\{W_1>x\}$ regularly varies at $\infty$ it is proved that $ P\{AW_n>x\}$ regularly varies at $\infty$ with the same exponent. All the proofs given are non-analytic in the sense that these do not use Laplace-Stieltjes transforms. The result on the tail behaviour of $W$ is established in two distinct ways.

연구 동기 및 목표

• 초임계 분열 랜덤 워크에서 핵심 마틴게일 함수형—최대, 제곱, $L_1$ 극한, 차이의 Supremum—의 꼬리 행동을 조사한다.
• 만약 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 가 무한대에서 정규화된 변화를 보인다면, $W^*$, $S$, $W$, 및 $\Delta$의 꼬리 분포도 동일한 지수를 가진 정규화된 변화를 보임을 확립한다.
• 라플라스-스틸체지 변환을 피하는 두 가지 비해석적 증명(즉, $\mathbb{P}\{W > x\}$ 의 정규화된 변화를 증명)을 제공하여 결과의 강건성을 높인다.
• 이 BRW 프레임워크에서 비음수 마틴게일의 다양한 함수형 간 꼬리 정규화된 변화의 등가성에 대한 추측을 확인한다.

제안 방법

• 저자는 원점에 단일 조상에서 시작하는 분열 랜덤 워크 $\{\mathcal{M}_n\}$ 을 정의하며, 위치는 점과정 $\mathcal{M}$ 의 독립 복사본에 의해 진화한다.
• 비음수 마틴게일 $W_n = m(\gamma)^{-n} \int e^{\gamma x} \mathcal{M}_n(dx)$ 를 평균으로 정규화하고, 관련 함수형—$W^* = \sup_n W_n$, $S = (1 + \sum d_k^2)^{1/2}$, $\Delta = \sup_n |d_n|$, $W = \lim W_n$, $M = \sup_n |W - W_n|$—을 정의한다.
• 분석은 모멘트 조건과 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 가 무한대에서 지수 $-\beta$, $\beta > 0$ 로 정규화된 변화를 보인다는 가정에 기반하며, 이는 $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta} L(x)$ 를 의미한다. 여기서 $L$ 은 천천히 변화하는 함수이다.
• 증명은 라플라스-스틸체지 변환을 피하고, 경로 기반 및 확률론적 추론을 사용하며, $\beta$ 에 대한 귀납법과 i.i.d. 랜덤 변수 합의 모멘트를 제어하기 위한 $c_\beta$-부등식을 포함한다.
• 저자들은 버크홀더-검다-데이비스 부등식 및 관련된 분포 불등식을 사용하여 $W^*$, $S$, $W$ 의 꼬리 행동을 연결하며, 알려진 마틴게일 불등식을 활용한다.
• 두 가지 서로 다른 증명이 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 의 정규화된 변화를 위해 제공되며, 하나는 모멘트 추정에 기반하고 다른 하나는 경로 기반 쌍용 및 최대 불등식 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 가 정규화된 변화를 보인다면, $\mathbb{P}\{W^* > x\}$ 도 동일한 지수를 가진 정규화된 변화를 보이는가?
• RQ2 제곱 함수 $S$, $L_1$ 극한 $W$, 그리고 마틴게일 차이의 Supremum $\Delta$ 의 꼬리 분포도 $W_1$ 과 동일한 지수를 가진 정규화된 변화를 보이는가?
• RQ3 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 의 정규화된 변화는 라플라스-스틸체지 변환을 사용하지 않고도 증명될 수 있는가?
• RQ4 초임계 분열 랜덤 워크에서 극한 $W$ 의 꼬리 행동에 대한 비해석적 증명이 존재하는가?
• RQ5 정규화된 변화가 $W_1$ 에 대해 성립할 때, 다양한 마틴게일 함수형—$W^*$, $S$, $W$, $\Delta$, $M$—의 꼬리 행동은 어느 정도 점근적으로 동치인가?

주요 결과

• 만약 $\mathbb{P}\{W_1 > x\}$ 가 지수 $-\beta$ 로 무한대에서 정규화된 변화를 보인다면, $\mathbb{P}\{W^* > x\}$, $\mathbb{P}\{S > x\}$, $\mathbb{P}\{W > x\}$, $\mathbb{P}\{\Delta > x\}$, $\mathbb{P}\{M > x\}$ 도 동일한 지수 $-\beta$ 로 정규화된 변화를 보인다. 이는 약한 모멘트 조건 하에서 성립한다.
• 만약 $\mathbb{E}W_1^\beta = \infty$ 이더라도, $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$ 를 만족하고, $\beta > 0$ 이며 $L$ 이 천천히 변화하는 함수이면 결과는 여전히 성립한다.
• 증명은 라플라스-스틸체지 변환을 피하고, 확률론적 및 모멘트 기반 추론을 사용하며, $c_\beta$-부등식과 $\beta$ 에 대한 귀납법을 포함한다.
• 두 가지 독립적인 증명이 $\mathbb{P}\{W > x\}$ 의 정규화된 변화를 위해 제공되며, 하나는 모멘트 추정에 기반하고 다른 하나는 경로 기반 쌍용 및 최대 불등식 기법을 사용한다.
• $W$ 의 분포가 $X_i = Y_u$ for $|u|=1$ 인 스무딩 변환의 고정점임을 보이며, 평균이 유한한 경우 이러한 고정점으로의 결과가 확장된다.
• $\mathbb{E}W_1^\beta < \infty$ 인 경우, 조건이 만족될 때 $\mathbb{P}\{W_1 > x\} \sim x^{-\beta}L(x)$ 이면 $\mathbb{P}\{W > x\} \sim c x^{-\beta}L(x)$ 를 만족하는 어떤 상수 $c > 0$ 도 존재한다.