[논문 리뷰] Regularity and approximation analyses of nonlocal variational equality and inequality problems

Olena Burkovska, Max Gunzburger|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 26.

Numerical methods in engineering참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 변분 등식 및 부등식 문제에 대해 잘린 분수라플라스 핵을 사용할 때 해의 최적의 소볼레프 정규성을 확립하며, 비국소적 벡터 미적분을 활용하여 사전 유한요소 오차 추정을 도출한다. 에너지 노름에서 $O(h^{0.5})$ 및 $L^2$ 노름에서 $O(h)$의 수렴 속도를 증명하고, 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

ABSTRACT

We consider linear and obstacle problems driven by a nonlocal integral operator, for which nonlocal interactions are restricted to a ball of finite radius. These type of operators are used to model anomalous diffusion and, for a special choice of the integral kernels, reduce to the fractional Laplace operator on a bounded domain. By means of a nonlocal vector calculus we recast the problems in a weak form, leading to corresponding nonlocal variational equality and inequality problems. We prove optimal regularity results for both problems, including a higher regularity of the solution and the Lagrange multiplier. Based on the regularity results, we analyze the convergence of finite element approximations for a linear problem and illustrate the theoretical findings by numerical results.

연구 동기 및 목표

• 분수라플라스 문제의 기존 정규성 이론을 상호작용 범위가 유한한(잘린 핵을 가진) 비국소 연산자로 확장하기 위해.
• 비국소적 변분 등식 및 부등식 문제에서 해와 라그랑주 승수에 대한 향상된 소볼레프 정규성을 확립하기 위해.
• 선형 및 장벽형 비국소 문제에 대한 일치 유한요소 이산화를 개발하고 분석하기 위해.
• 선형 문제에 대한 사전 오차 추정을 유도하고 수치적으로 검증하기 위해.
• 잘린 핵에 대한 정규성 결과의 격차를 메우며 비국소 유한요소 방법의 오차 분석 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 강한 형태를 약한 변분 형태로 재구성함으로써 비국소 문제를 비국소적 벡터 미적분 프레임워크를 사용해 기술한다.
• 분수라플라스와 관련된 잘린 핵 $ ilde{ ho}_ ho$ 를 사용하며, 상호작용 범위는 반경 $ ho$ 의 구 내로 제한된다.
• 횔른더 이론의 결과를 활용하고 잘림 오차를 추정하여 무한한 상호작용 범위의 경우에서 유한한 상호작용 범위의 경우로 정규성 결과를 확장한다.
• 안정성 및 일致성 분석을 통해 에너지 노름 및 $L^2$ 노름에서 선형 유한요소 근사의 사전 오차 추정을 유도한다.
• 제작된 해와 미세 메esh($h = 2^{-12}$)에서의 기준 해를 사용하여 수치적으로 수렴 속도를 검증한다.
• 동일한 유한요소 방법을 비국소 장벽 문제에 적용하고 에너지 오차 및 $L^2$ 오차의 수렴 행동을 보고한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잘린 분수라플라스 핵을 가진 비국소 선형 문제의 해에 대한 최적의 소볼레프 정규성은 무엇인가?
• RQ2 비국소 장벽 문제에서 라그랑주 승수의 정규성은 핵과 데이터의 정규성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비국소 변분 문제의 유한요소 근사에서 이론적 및 수치적으로 달성 가능한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 완전한 분수라플라스와 비교할 때 잘린 핵에 대한 정규성 및 수렴 결과는 어떻게 다른가?
• RQ5 비국소 장벽 문제에서 선형 문제와 동일한 수렴 차수를 기대할 수 있는가?

주요 결과

• 데이터가 $L^2(ar{ ho})$ 에 속할 경우 비국소 선형 문제의 해는 에너지 공간에서 최적의 $H^{s+1}$ 정규성을 보이며, 이는 무한 상호작용 범위의 경우로의 결과 확장을 포함한다.
• 적절한 가정 하에 비국소 장벽 문제에서 라그랑주 승수는 해보다 추가로 $s$-차수의 정규성을 확보한다.
• 선형 문제에 대해 선형 유한요소 근사는 에너지 노름에서 $O(h^{0.5})$ 및 $L^2$ 노름에서 $O(h)$ 속도로 수렴하며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 수치 결과는 $s o 0.1$ 에서 $0.75$ 까지의 다양한 값에서 이론적 수렴 속도를 확인하며, 에너지 오차 수렴 속도는 약 $0.5$이며 $L^2$ 수렴 속도는 약 $1.0$에 가깝다.
• 비국소 장벽 문제에 대해서도 선형 유한요소 방법은 유사한 수렴 차수를 달성한다: 에너지 노름에서 $O(h^{0.5})$ 및 $L^2$ 노름에서 $O(h)$, 이는 유사한 수렴 행동을 시사한다.
• 정규성 및 수렴 결과는 $s$ 및 $ ho$ 의 변화에 대해 강건하며, 선형 문제와 변분부등식 문제 모두에서 일관된 수렴 속도가 관찰된다.