[논문 리뷰] Regularity for fully non linear equations with non local drift

Héctor A. Chang Lara|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 16.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 5인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 핵을 가진 비선형 적분미분방정식의 점근적 해에 대한 허더 연속성을 확립한다. 여기서 핵의 홀수(편향) 부분의 차수는 1에서 짝수(확산) 부분의 차수 사이에 있다. 저자들은 비대칭 핵과 기울기 항을 다룰 수 있도록 아크산드로프-바켈레만-푸치 추정법을 수정하여, 홀수 부분에 대한 대칭성이나 적분 가능성 조건을 요구하지 않고도 점 추정법과 허더 연속성을 증명한다. 이는 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$의 경우를 핵심 예시로 복원한다.

ABSTRACT

We prove Holder regularity for solutions of non divergence integro-differential equations with non necessarily even kernels. The even/odd decomposition of the kernel can be understood as a sum of a diffusion and a drift term. In our case we assume that such drift have the order smaller than or equal to the diffusion and at least one. For example we can say something about the following equation $Δ^{1/2}u + |Du| = f$. The main step relies in a localized version of the Aleksandrov-Bakelman-Pucci estimate. Our estimates are also uniform as the order of the equation goes to two.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 적분미분방정식의 점근적 해에 대한 허더 연속성을 확립한다.
• 비국소 연산자의 정규성 이론을 제한하던 핵의 대칭성 가정을 제거한다.
• 비국소적 편향과 확산 항의 차수가 동일한 경우, 예를 들어 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$와 같은 경우를 다룰 수 있도록 한다.
• 척도 불변 성질을 갖는 선형 연산자 가족을 도입하여 비대칭 핵에 기인한 기울기 항을 모든 척도에서 균일하게 제어하는 강력한 ABP 유형 추정법을 개발한다.
• 비국소 방정식에 대한 크릴로프-사포노프 정규성 이론을 비대칭 핵과 비대칭 비국소적 편향을 가진 경우로 확장한다.

제안 방법

• 기울기 항의 영향을 국소화하는 장벽 함수를 구성함으로써 고전적 크릴로프-사포노프 ABP 추정법을 비국소 연산자에 비대칭 핵이 존재하는 경우로 확장한다.
• 특수 함수를 사용하여 핵의 홀수(비대칭) 부분을 왜곡으로 간주하고, 수정된 ABP 추정법을 도입하여 오른쪽 항을 국소화한다.
• 두 차수 항과 비국소 항을 모두 포함하는 척도 불변의 선형 연산자 가족을 도입하여 모든 척도에서 균일한 제어를 확보한다.
• ABP 추정법에서 유도된 이산적 점 추정법(커버링 추론을 통한)을 적용하여 초수준 집합의 $L^\epsilon$ 유형 감쇠를 확보한다.
• 기존의 크릴로프-사포노프 이론에서 표준적으로 사용되는 진동 감소 논증을 활용하여 점 추정법에서 허더 연속성을 유도한다.
• 최소한의 구조적 가정을 도입한다: 핵의 홀수 부분의 차수 $\sigma \in [1, \sigma_e]$이며, $\sigma_e$는 짝수 부분의 차수이며, 대칭성이나 적분 가능성 조건은 가정하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 핵을 가진 완전 비선형 적분미분방정식에 대해, 허더 연속성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 짝수 부분과 홀수 부분의 상대적 차수가 정규성에 어떤 영향을 미치며, 특히 두 부분의 차수가 동일한 경우 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 고전적 크릴로프-사포노프 ABP 추정법은 비대칭 핵과 비대칭 핵에 기인한 기울기 항을 다룰 수 있도록 수정될 수 있는가?
• RQ4 비국소적 편향 항의 홀수 부분이 적분 가능하거나 대칭적이지 않은 경우, 비국소 방정식의 정규성 이론은 척도 불변 성질을 유지하는가?
• RQ5 $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ 방정식이 핵의 대칭성을 가정하지 않고도 허더 연속해를 가짐을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비대칭 핵이 존재하는 경우에도 비국소적 편향 항의 영향을 제어할 수 있는 수정된 아크산드로프-바켈레만-푸치 추정법을 확립한다.
• 점 추정법이 증명된다: 임의의 비음수 해 $u$에 대해 $\mathcal{M}^-_{\mathcal{L}}u \leq f$ 가 $B_1$ 내에서 성립할 경우, 초수준 집합 $\{u > t\} \cap B_{1/4}$ 는 어떤 universal $\varepsilon > 0$ 에 대해 $t^{-\varepsilon}$ 의 속도로 감쇠하며, 상수는 차원과 타원성 조건에만 의존한다.
• 점근적 해 $u$에 대해 $Iu = f$ 가 $B_1$ 내에서 성립할 경우, $u \in C^\alpha(B_{1/2})$ 의 허더 연속성이 확립되며, universal $\alpha \in (0,1)$ 과 $\|u\|_{L^\infty}$, $\|f\|_{L^\infty}$, 경계 데이터에 의존하는 노름 추정식이 존재한다.
• 이동 불변 방정식의 경우, 추가로 기울기 핵에 대한 조건 $|DK| \leq C|y|^{n+\sigma+1}$ 이 성립할 경우 $C^{1,\alpha}$ 연속성이 확보된다.
• 방정식의 차수가 2에 수렴할 때 고전적 두 차수 이론으로의 일致성을 보이며, 크릴로프-사포노프 이론과의 일致성을 입증한다.
• $\Delta^{1/2}u + |Du| = 0$ 방정식이 핵의 대칭성을 가정하지 않더라도 허더 연속해를 가짐을 보였다. 이는 이전에 대칭성 조건 하에서는 달성되지 않았던 사례이다.