[논문 리뷰] Regularity for minimizers of non-autonomous non-quadratic functionals in the case 1 < p < 2: an a priori estimate

Andrea Gentile|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비자기적이고 비이차형인 함수의 국소 최소화자에 대해, 1 < p < 2 인 하위이차 성장 조건을 만족시키는 경우, 적분자의 기울기 의존성의 약한 도함수가 L^q(Ω)에 속하고 q ≥ 2n/p 라는 조건 하에, 두 번째 도함수에 대한 사전 추정치를 수립한다. 핵심 결과는 ||Du||_L^p 와 ||g||_L^q 에 대한 L^p 유계성으로, 이는 차분 몰입 방법의 새로운 응용과 임계 적으로 가까운 합계를 다루기 위한 이중 반복 기법을 통해 달성된다. 이는 하위이차 영역에서의 임계 적으로 가까운 합계를 다루는 데 필수적이다.

ABSTRACT

We prove an a priori estimate for the second derivatives of local minimizers of integral functionals of calculus of variation with convex integrand with respect to the gradient variable, assuming that the function that measures the oscillation of the integrand with respect to the x variable belongs to a suitable Sobolev space. The novelty here is that we deal with integrands satisfying subquadratic growth conditions with respect to gradient variable.

연구 동기 및 목표

• 비자기적이고 비이차형인 함수의 국소 최소화자에 대해, 1 < p < 2 이고 기울기에서 하위이차 성장 조건을 만족시키는 경우, 두 번째 도함수에 대한 사전 추정치를 수립하는 것.
• 적분자 f(x, ξ) 가 ξ 에 대해 하위이차 성장 조건을 만족하고, x 에 대해 소볼레프 유형의 정규성 조건을 만족할 때, 정규성 이론을 확장하는 것.
• 특히 p < 2 인 경우, 하위이차 성장과 소볼레프 계수 하에서 벡터형 최소화자에 대한 고차 미분 가능성 결과의 부족을 다루는 것.
• Dξf(x, ξ) 가 x 에 대해 약한 미분 가능성(즉, L^q 내)을 가지면, 최소화자 u 의 두 번째 도함수의 이차 적분 가능성(즉, D²u ∈ L^p)이 유도됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 보조 함수 Vp(Du) 의 기울기의 L^2 노름을 통해 D²u 의 L^p 노름을 추정하기 위해 차분 몰입 방법을 사용하는 것.
• 소볼레프 함수의 하자라스 점별 특성화를 적용하여, Dξf 의 x 에 대한 진동을 함수 g ∈ L^q_loc(Ω) 를 통해 통제하는 것.
• 특히 하위이차 영역에서 표준 추정이 실패하는 임계 적으로 가까운 합계를 다루기 위해 이중 반복 기법을 활용하는 것.
• g, Du, τhDu 를 포함하는 항들을 균형 있게 조정하기 위해 적절히 선택된 지수를 사용한 허들러의 부등식과 얀의 부등식을 적용하는 것.
• 반복 보조정리(Lemma 2.3) 를 활용하여, |τhDu|/|h| 의 국소 L^p 유계성을 D²u 의 전역적 L^p 노름 ||D²u||_L^p 으로 향상시키는 것.
• 소볼레프 포함 정리를 활용하여, q ≥ 2n/p 라면 |Du| 의 L^{pq/(q-2)} 노름이 유한함을 보장하고, 임계 항의 수렴성을 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자기적이고 비이차 함수의 경우, 1 < p < 2 이고 기울기에서 하위이차 성장 조건을 만족할 때, 국소 최소화자에 대한 두 번째 도함수에 대한 사전 추정치를 수립할 수 있는가?
• RQ2 Dξf(x, ξ) 가 x 에 대해 약한 미분 가능성(즉, L^q 내)을 가지면, p < 2 인 경우 D²u 의 고차 적분 가능성(즉, D²u ∈ L^p)이 유도되는가?
• RQ3 차분 몰입 방법은 하위이차 영역에서 발생하는 임계 적으로 가까운 합계 문제를 다룰 수 있도록 적응 가능한가?
• RQ4 D²u ∈ L^p 가 보장되도록 하기 위해 계수 함수 g (Dξf 의 x 진동을 측정) 에 대한 최적의 적분 조건은 무엇인가?
• RQ5 p < 2 와 q ≥ 2n/p 의 상호작용이 사전 추정치의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• ||D²u||_L^p(B_r) 에 대한 사전 추정치가 수립되었으며, 이는 ||Du||_L^p(B_R) + ||g||_L^q(B_R) 의 상수배로 유계됨을 보여주며, q ≥ 2n/p 를 만족한다.
• 추정치 (1.6) 는 BR ⋐ Ω 를 만족하는 모든 0 < r < R 에 대해 성립하며, 상수 C 는 α, β, p, n 에만 의존한다.
• 증명은 하위이차 영역에서 필수적인 임계 적으로 가까운 합계를 다루기 위해 새로운 이중 반복 기법을 활용한다.
• ∫ |τhDu|^p / |h|^p dx 는 허들러의 부등식과 얀의 부등식의 조합을 통해 통제되며, 특히 g 와 Du 를 포함하는 임계 항은 소볼레프 포함을 통해 추정된다.
• 조건 q ≥ 2n/p 는 |Du| 의 L^{pq/(q-2)} 노름이 유한함을 보장하여, 소볼레프 포함을 통해 추정의 닫힘을 가능하게 한다.
• 결과적으로, 이전에 탐색되지 않은 하위이차 성장(1 < p < 2)과 소볼레프 계수 조건 하에서 정규성 이론이 확장되었으며, 문헌에서 핵심적인 빈자리가 메워졌다.