[논문 리뷰] Regularity for non-local almost minimal boundaries and applications

Michèle Caputo, Nestor Guillen|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 10인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 분수 스토퍼프 에너지로 정의된 거의 최소 경계에 대해 알므그렌-데 지오르기-타마니니 정규성 이론의 비국소적 버전을 수립한다. 평탄한 비국소적 거의 최소 집합이 $C^{1,\rho}$ 정규성을 갖는다는 것을 증명함으로써, 고전적 결과를 분수 스토퍼프 에너지로 확장한다. 주요 기여는 비국소적 거의 최소 경계에 대한 완전한 정규성 이론으로, 평탄한 점 근처에서의 $C^{1,\rho}$ 정규성과 $n-2$ 차원 이하의 특이점 집합 추정을 포함하며, 새로운 변분 부등식과 단조성 공식을 통해 이룩된다.

ABSTRACT

We introduce a notion of non-local almost minimal boundaries similar to that introduced by Almgren in geometric measure theory. Extending methods developed recently for non-local minimal surfaces we prove that flat non-local almost minimal boundaries are smooth. This can be viewed as a non-local version of the Almgren-De Giorgi-Tamanini regularity theory. The main result has several applications, among these $C^{1,α}$ regularity for sets with prescribed non-local mean curvature in $L^p$ and regularity of solutions to non-local obstacle problems.

연구 동기 및 목표

• 분수 스토퍼프 에너지로 정의된 비국소적 거의 최소 경계에 대해 알므그렌-데 지오르기-타마니니 정규성 이론을 확장하기.
• 에너지 함수 $H^{s/2}$에 대해 거의 최소인 집합에 대해 $C^{1,\rho}$ 정규성을 확립하기.
• 이러한 경계의 특이점 집합이 하우스도르프 차원 최대 $n-2$ 이라는 것을 증명하기. 이는 고전적 결과를 반영한다.
• 비국소적 거의 최소 설정에서 고전적 오일러-라그랑주 방정식이 존재하지 않는 상황에서의 변분 부등식을 개발하기.
• 비국소적 평균 곡률 문제와 장벽 문제에의 응용을 위한 기초 마련하기.

제안 방법

• 고전적 거의 최소 집합을 일반화하기 위해 비국소 에너지 함수에 대해 $(J_s, \rho, \delta)$-최소성의 개념을 도입하기.
• 디 지오르기의 미분 부등식의 비국소적 확장을 사용하여 균일한 체적 밀도 추정을 증명하며, 이는 이산 반복 방법을 보완한다.
• 비국소적 거의 최소 케이스에서 최소 표면 방정식의 대체로 기능하는 변분 부등식(정리 5.15)을 확립하기.
• 블로우업과 컴actness 추론을 통해 평탄함 향상이 가능하도록 하는 부분 허낙 추정(정리 5.18) 유도하기.
• 에너지 함수 $\Phi_E(r)$에 대한 단조성 공식을 증명하여, 이 함수가 비감소적이며 동차 함수일 때에만 0이 된다는 것을 보여주기.
• 블로우업 분석과 차원 감소 기법을 적용하여 특이점 집합의 하우스도르프 차원이 최대 $n-2$ 임을 결론짓기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 거의 최소 경계가 평탄한 점 근처에서 언제 $C^{1,\rho}$ 정규성을 갖는가?
• RQ2 고전적 알므그렌-데 지오르기-타마니니 정규성 이론은 비국소적 에너지 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ3 고전적 오일러-라그랑주 방정식이 존재하지 않는 상황에서 비국소적 거의 최소 집합을 특징짓는 변분 부등식은 무엇인가?
• RQ4 비국소적 거의 최소 경계의 특이점 집합은 하우스도르프 차원 측면에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 에너지 함수의 단조성 공식은 블로우업 극한을 분류하고 정규성을 증명하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 집합 $E$ 가 $B_1$ 에서 $(J_s, \rho, \delta)$-최소이며 $\delta$-평탄한 경우, $\delta \leq \delta_0(n,s,\rho)$ 이면, $\partial E$ 는 $B_{1/2}$ 에서 $C^{1}$ 이다.
• 점 $\partial E$ 가 $C^1$ 이 아닌 점들의 집합은 하우스도르프 차원 최대 $n-2$ 이다.
• 에너지 함수 $\Phi_E(r)$ 는 $r$ 에 대해 비감소적이며, $\Phi_E'(r) \geq \frac{1}{r^{n-s}} \int_{\partial B_r^+} z^a (\hat{u}_\nu)^2 dX$ 를 만족함으로써 단조성을 보인다.
• 만약 $\Phi_E(0) < \Phi_H + \delta_0$ 이고 $\delta_0 > 0$ 이면, 원점 근처에서 $\partial E$ 는 $C^{1,\hat{\rho}}$ 이다.
• 거의 최소 집합의 블로우업 극한은 최소 원뿔이며, 원뿔이 반공간이 아니면 에너지 갭 $\Phi_C \geq \Phi_H + \delta_0$ 이 성립한다.
• 비국소적 장벽 문제에서는, 어떤 $\alpha < s$ 에 대해 장벽 근처에서 $\partial E$ 는 $C^{1,\alpha}$ 이다.