[논문 리뷰] Regularity in $L_p$ Sobolev spaces of solutions to fractional heat equations

Gerd Grubb|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비국소 연산자(예: $(-Δ)^a$ 또는 일반적인 순서 $d>0$의 미분형 연산자)를 포함하는 분수열 열방정식의 해에 대해 이방성 $L_p$ 소볼레프 공간에서 날카운 정규성 추정을 수립한다. $Δ^{n+1}$에서의 새로운 기호 해석학을 사용하여, 우변 $f$가 $H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$에 속할 경우 해 $u$는 $H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$에 속함을 증명한다. 이와 유사한 결과들이 베소프 공간과 허더 공간에서도 성립한다.

ABSTRACT

This work contributes in two areas, with sharp results, to the current investigation of regularity of solutions of heat equations (*) $Pu+\\partial_tu=f$ on $\\Omega\ imes I $, where $P$ is a nonlocal operator, and $\\Omega \\subset R^n$, $I\\subset R$. 1) For $P$ a strongly elliptic pseudodifferential operator ($\\psi $do) on $R^n$ of order $d\\in R_+$, a symbol calculus on $R^{n+1}$ is introduced, that allows showing optimal regularity of solutions in the scale of anisotropic Bessel-potential spaces $H^{(s,s/d)}$, globally over $R^n\ imes R$, and locally over $\\Omega\ imes I$, for $s\\in R$, $1<p<\\infty $. Similar results hold in anisotropic Besov spaces $B^{(s,s/d)}$. 2) Let $\\Omega $ be smooth bounded, and let $P$ equal $(-\\Delta)^a$ ($0<a<1$), or its generalizations to singular integral operators with regular kernels, that are infinitesimal generators of stable L\\'evy processes. With the Dirichlet condition $u=0$ on $R^n\\setminus\\Omega$, the initial condition $u|_{t=0}=0$, and $f\\in L_p(\\Omega \ imes I)$, (*) has a unique solution $u\\in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega))$ with $\\partial_tu\\in L_p(\\Omega \ imes I)$. Here $H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega)$ equals $\\dot H_p^{2a}(\\bar\\Omega)$ if $a<1/p$, and is contained in $\\dot H_p^{2a-\\varepsilon}(\\bar\\Omega)$ if $a=1/p$, but contains nontrivial elements from $ d^a \\bar H_p^{a}(\\Omega)$ if $a>1/p$ (where $d(x)= \\operatorname{dist}(x,\\partial\\Omega)$). The interior regularity of $u$ is lifted when $f$ is more smooth.

연구 동기 및 목표

• 비국소 연산자를 포함하는 분수열 방정식의 해에 대해 이방성 $L_p$ 소볼레프 공간에서 최적의 정규성 추정을 수립하기.
• 임의의 양의 순서 $d$를 가진 강력 타원형 미분형 연산자에 대해 $Δ^{n+1}$에서 새로운 기호 해석학을 개발하기.
• 전체 공간 $Δ^{n+1}$에서의 정규성 결과를 임의의 열린 부분집합 $Σ\subsetΔ^{n+1}$에 대한 국소적 설정으로 확장하기.
• 유계 영역에서 딜레르흐 조건과 초기 조건을 갖는 비국소 열방정식 $Pu + \partial_t u = f$의 해의 행동 분석하기.
• 특히 $a > 1/p$ 또는 $a = 1/p$일 때, $L_p$-기반 소볼레프 공간에서의 정확한 정규성 향상, 특히 날카운 임베딩과 경계 성질을 특성화하기.

제안 방법

• 순서 $d>0$인 미분형 연산자 $P$에 대해 $Δ^{n+1}$에서 체계적인 기호 해석학을 도입하며, 시간 도함수 $\partial_t$를 전체 연산자 $P + \partial_t$의 일부로 간주한다.
• 공간과 시간 변수 간의 다른 스케일링을 반영하기 위해 이방성 베셀-퍼텐셜 및 베소프 공간 $H^{(s,s/d)}_p$와 $B^{(s,s/d)}_p$를 적용한다.
• 푸리에 승수 이론과 리조르킨의 기준을 사용하여 이방성 소볼레프 공간 간에 연산자 $P + \partial_t$의 유계성과 정규성을 증명한다.
• 결과를 $Δ^{n+1}$에서 열린 부분집합 $\Omega \times I$로 국소화하기 위해 제약 및 확장 기법을 적용한다.
• 전역적 $L_p$-정규성을 시간 가중 소볼레프 공간에서 도출하기 위해 딜레르흐 조건 $\operatorname{supp} u \subset \overline{\Omega}$와 초기 조건 $u|_{t=0} = 0$를 활용한다.
• 특히 허더 및 국소 정규성에 대해 등가 공간과 보간 기법을 비교함으로써 임베딩 및 경계 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 연산자 $P$의 순서 $d>0$를 갖는 분수열 방정식 $Pu + \partial_t u = f$의 해에 대해 $L_p$ 소볼레프 공간에서 최적의 정규성 향상은 무엇인가?
• RQ2 해 $u$의 정규성은 이방성 $L_p$-소볼레프 공간에서 오른쪽 항 $f$의 부드러움에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 $P = (-\Delta)^a$이고 $f \in L_p(\Omega \times I)$일 때, $u$의 정확한 정규성은 $L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$에서 어떻게 되는가? 특히 $a > 1/p$일 경우에 대해.
• RQ4 해 $u$의 국소 정규성 특성은 이방성 소볼레프 척도에서 $f$의 부드러움을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 특히 $a = 1/p$ 또는 $a > 1/p$일 경우, 이방성 허더 및 소볼레프 공간에서 해의 날카운 임베딩과 경계 성질은 무엇인가?

주요 결과

• $f \in H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$이면, 해 $u$는 $u \in H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$를 만족하며, 이는 이방성 $L_p$ 소볼레프 공간에서 날카운 정규성 향상을 수립한다.
• 결과는 $Δ^{n+1}$ 전체에서나 임의의 열린 부분집합 $\Sigma \subset \u0394^{n+1}$에서 국소적으로도 동일한 정규성 향상과 함께 성립한다.
• 베소프 공간 $B^{(s,s/d)}_p$와 이방성 허더 공간 $C^{(s,s/d)}$에 대해서도 유사한 정규성 결과가 수립된다.
• $P = (-\Delta)^a$가 매끄러운 유계 영역 $\Omega$에서 정의되고 $f \in L_p(\Omega \times I)$이면, 해는 $u \in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$와 $\partial_t u \in L_p(\Omega \times I)$를 만족한다.
• $a < 1/p$이면 $H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}) = \dot{H}_p^{2a}(\overline{\Omega})$; $a = 1/p$이면 $\dot{H}_p^{2a - \varepsilon}(\overline{\Omega})$에 포함된다; $a > 1/p$이면 $d^a \overline{H}_p^a(\Omega)$에서 비자명한 원소를 포함한다.
• 해의 정규성이 $f$가 더 부드러울수록 향상되며, 이 향상 정도는 이방성 척도에서 $f$의 부드러움에 따라 달라진다.