[논문 리뷰] Regularity of 3D axisymmetric Navier-Stokes equations

Hui Chen, Daoyuan Fang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 05.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 27인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비영인 스와일이 존재하는 3차원 축대칭 나비에-스토크스 방정식에 대해, 스케일링된 코어스성 성분 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$에 대한 핵심 부등식을 도입하여 새로운 Prodi-Serrin 유형의 정칙성 기준을 수립한다. 초기 각속도 $u^\theta_0$가 임계 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 공간에서 충분히 작을 경우, 최적의 스케일 불변 조건으로서 전체 스와일이 없는 경우까지 정칙성 결과를 확장하여 전역 적으로 잘 정의됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the three-dimensional axisymmetric Navier-Stokes system with nonzero swirl. By establishing a new key inequality for the pair $(\frac{ω^{r}}{r},\frac{ω^θ}{r})$, we get several Prodi-Serrin type regularity criteria based on the angular velocity, $u^θ$. Moreover, we obtain the global well-posedness result if the initial angular velocity $u_{0}^θ$ is appropriate small in the critical space $L^{3}(\R^{3})$. Furthermore, we also get several Prodi-Serrin type regularity criteria based on one component of the solutions, say $ω^3$ or $u^3$.

연구 동기 및 목표

• 비영인 스와일이 존재하는 3차원 축대칭 나비에-스토크스 방정식에 대해, 특히 각속도 $u^\theta$를 포함하는 날카로운 정칙성 기준을 수립하기 위해.
• 스케일 불변 공간에서 임계 작음 조건 하에 전역 정칙성 문제를 해결하기 위해.
• 축대칭 유동에 대해 Prodi-Serrin 프레임워크를 스케일링된 코어스성 쌍 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$를 분석하여 확장하기 위해.
• 초기 각속도가 임계 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 공간에서 작을 경우 전역 존재성과 유일성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 축대칭 나비에-스토크스 시스템의 비선형 항을 제어하기 위해 쌍 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$에 대한 새로운 핵심 부등식을 유도하기 위해.
• 콘벡션, 확산 및 저차항을 포함하는 쌍방향 편미분 방정식을 만족하는 변수 $\Theta = r u^\theta$ 및 $\Gamma = \omega^\theta / r$를 도입하기 위해.
• 부분적분, 헬더 부등식 및 소볼레프 포함을 사용하여 $\omega^\theta$ 및 $\Gamma$의 $L^2$ 노름을 초기 자료와 $\nabla \mathbf{u}$에 따라 유계로 제한하기 위해.
• 그로워랄의 부등식을 적용하여 $d \in (0,1)$에 대해 $\|r^d u^\theta\|_{L^{3/(1-d)}}$의 성장률을 제어하여 초기 자료가 작을 경우 유계성을 확보하기 위해.
• 연속성 방법과 에너지 추정을 사용하여 $r^d u^\theta$의 $L^{3/(1-d)}$ 노름이 모든 시간에 걸쳐 유지될 경우, 해가 유한 시간 $T^*$ 이후로 연장 가능함을 보여주기 위해.
• 축대칭 시스템의 구조를 활용하여 전체 속도장 제어를 피하고 오직 각운동 성분에 대한 추정만으로 문제를 축소하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영인 스와일이 존재하는 3차원 축대칭 나비에-스토크스 방정식에서, 각속도 $u^\theta$만을 사용하여 Prodi-Serrin 유형의 정칙성 기준을 수립할 수 있는가?
• RQ2 3차원 축대칭 나비에-스토크스 방정식에 대해 전역 적으로 잘 정의됨을 보장하는 최적의 임계 작음 조건은 무엇인가? $u^\theta_0$에 대해.
• RQ3 코어스성 성분 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$의 스케일링이 스와일 존재 시 정규성 추정을 향상시키는 방식은 무엇인가?
• RQ4 스케일 불변 노름과 에너지 추정을 사용하여 전역 정칙성 결과를 전체 스와일이 없는 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $u^\theta_0$의 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 노름이 축대칭 해의 전역 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 각속도 $u^\theta$에만 기반한 새로운 Prodi-Serrin 유형의 정칙성 기준을 수립한다. 즉, $u^\theta \in L^p_t L^q_x$ 이고 $\frac{2}{p} + \frac{3}{q} \leq 1$ 이며 $3 \leq q \leq \infty$ 라면 해는 정칙임을 보여준다.
• 초기 각속도 $u^\theta_0$가 임계 $L^3(\mathbb{R}^3)$ 공간에서 충분히 작을 경우, 전역 적으로 잘 정의됨이 증명된다. 조건은 $\|r^d u^\theta_0\|_{L^{3/(1-d)}} \leq \frac{1}{2C_0}$ 이며, $d \in (0,1)$ 이다.
• 비선형 항을 제어하고 정칙성 분석을 가능하게 하는 데 중심적인 역할을 하는 쌍 $(\omega^r/r, \omega^\theta/r)$에 대한 새로운 부등식이 도출되었다.
• 코어스성 $\omega^\theta$의 $L^\infty_t L^2_x$ 노름은 초기 자료와 속도의 $L^2$ 노름에 의해 유계로 제한되며, $\|\omega^\theta\|_{L^\infty_t L^2_x}^2 \leq \|\omega^\theta_0\|_2^2 + C_1(\|\Gamma_0\|_2 + \|\Phi_0\|_2)^{4/3} \|\mathbf{u}_0\|_2^2$ 를 만족한다. 여기서 $\Gamma_0 = \omega^\theta_0 / r$ 이다.
• 초기 조건이 작을 조건 하에 $r^d u^\theta$의 $L^{3/(1-d)}$ 노름이 모든 시간에 걸쳐 유지되며, 이는 해가 유한 시간 $T^*$ 이후로 연장 가능함을 보장한다.
• 초기 자료가 $\|r^d u^\theta_0\|_{L^{3/(1-d)}} \leq \frac{1}{2C_0}$ 를 만족할 경우, 해는 전역적으로 정칙적이고 유일함을 보였다. 이 유계성은 초기 에너지와 코어스성 노름에만 의존한다.