[논문 리뷰] Regularity of entropy, geodesic currents and entropy at infinity

Barbara Schapira, Samuel Tapie|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트이고 음의 곡률을 가진 리만다만에서 '강하게 양의 재귀적'(SPR)이라는 새로운 개념을 도입한다. 이는 무한대에서의 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이에 임계적인 갭이 존재하는 다양체로, 유한한 Bowen-Margulis 측도가 존재하고 $C^2$ 메트릭 변형에 대해 연속적으로 변한다는 것을 증명한다. 저자들은 새로운 전류 기반 접근법을 통해 이러한 변형에 따라 위상적 엔트로피의 $C^1$ 정칙성을 확립하며, 기존의 콤팩트 케이스에서의 Katok-Knieper-Weiss 결과를 비콤팩트 환경으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this work, we introduce the notion of entropy at infinity, and define a wide class of noncompact manifolds with negative curvature, those which admit a critical gap between entropy at infinity and topological entropy. We call them strongly positively recurrent manifolds (SPR), and provide many examples. We show that dynamically, they behave as compact manifolds. In particular, they admit a finite measure of maximal entropy. Using the point of view of currents at infinity, we show that on these SPR manifolds the topological entropy of the geodesic flow varies in a C 1 -way along (uniformly) C 1 -perturbations of the metric. This result generalizes former work of Katok (1982) and Katok-Knieper-Weiss (1991) in the compact case.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트이고 음의 곡률을 가진 다양체에서 메트릭 변형에 따른 위상적 엔트로피의 정칙성 결과가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• Bowen-Margulis 측도가 작은 $C^2$ 메트릭 변형에 대해 유한하고 연속적으로 유지되는 새로운 다양체 클래스—SPR(강하게 양의 재귀적)—를 정의하기 위해.
• Katok-Knieper-Weiss의 콤팩트 다양체에 대한 위상적 엔트로피의 $C^1$ 정칙성 결과를 비콤파크트 다양체로 일반화하기 위해.
• 무한대에서의 지오데식 전류를 사용하여 엔트로피의 변형을 제어할 수 있는 변환 법칙을 수립함으로써, 비콤팩트 환경에서 엔트로피 변동을 제어할 수 있도록 하기 위해.
• 메트릭 변형 하에서 Bowen-Margulis 측도의 유한성과 약한-* 연속성을 보장하는 기하학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 다양체의 비콤팩트 끝에서의 점점 증가하는 엔트로피 기여를 정량화하기 위해 '무한대에서의 엔트로피' 개념을 도입한다.
• 무한대에서의 엔트로피와 위상적 엔트로피 사이에 임계적인 갭이 존재하는 다양체를 SPR 다양체로 정의하며, 이는 Bowen-Margulis 측도의 유한성을 보장한다.
• 무한대에서의 지오데식 전류를 사용하여 서로 다른 메트릭 간의 지오데식 흐름의 역학을 연결한다. 이는 동일한 등가 메트릭 하에서 시각 경계의 자연스러운 동형사상에 기반한다.
• 그림자 효과 성질과 준지오데식 기법을 이용하여, 오랜 시간 동안 컴팩트 집합을 피하는 벡터들의 집합의 측도에 대해 균일한 지수 감소 추정을 수립한다.
• Bowen-Margulis 측도의 곱의 구조를 적용하여, 컴팩트 집합을 떠나 다시 들어오는 집합의 측도를 유계로 만들며, 이는 시각 경계의 이웃의 측도 감소에 기반한다.
• 메트릭 변형 파arameter $\varepsilon$ 와 무관하게, 큰 컴팩트 집합의 이격 이웃 외부에 있는 집합의 측도가 균일하게 감소함을 보여, $C^2$ 메트릭 변형 하에서 Bowen-Margulis 측도의 약한-* 연속성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 변형에 따른 위상적 엔트로피의 $C^1$ 정칙성 결과를 콤팩트에서 비콤팩트 음의 곡률 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비콤팩트 환경에서 $C^2$ 메트릭 변형에 대해 Bowen-Margulis 측도의 유한성과 연속성을 보장하는 기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 무한대에서의 엔트로피 개념을 엄밀하게 정의하고, 이와 함께 비콤팩트 다양체에서 지오데식 흐름의 역학적 행동을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 무한대에서의 지오데식 전류는 메트릭 변형에 따른 엔트로피 변동을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 어떤 비콤팩트 다양체가 최대 엔트로피 측도를 유한하게 가지며, 메트릭 변형에 따라 엔트로피가 매끄럽게 변할 수 있는가?

주요 결과

• SPR 다양체 클래스는 유한 체적 히perspace 다양체, 스펙트럴 갭이 있는 기하학적으로 유한한 다양체, 그리고 슈타크 제품 예제를 포함하며, 이 모든 경우에서 Bowen-Margulis 측도는 유한하다.
• SPR 다양체에서는, 균일한 $C^2$ 메트릭 변형에 대해 Bowen-Margulis 측도가 약한-* 위상에서 연속적으로 변한다.
• 지오데식 흐름의 위상적 엔트로피는 균일한 $C^2$-변형에 따라 $C^1$-스무스하며, 도함수는 다음 공식으로 주어진다: \\left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0}h_{\text{top}}(g_{\lambda}) = -h_{\text{top}}(g_0) \int_{S^{g_0}M} \left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0} |v|^{g_\lambda} d\overline{m}_{\text{BM}}^{g_0}(v) .
• 시간 $T$ 동안 컴팩트 집합 $W$ 를 피하는 벡터들의 집합의 측도는 $e^{-\beta T}$ 비례로 지수적으로 감소하며, 이는 변형 매개변수 $\varepsilon$ 에 대해 균일하게 유지되어 엔트로피 변동에 대한 균일한 제어를 보장한다.
• 증명은 오랜 시간 동안 컴팩트 집합 외부에 머무르는 벡터들의 집합의 측도에 대해 균일한 지수 감소 추정에 기반하며, 이 감소율은 $\varepsilon$ 와 무관하다.
• 핵심 기술적 단계는 충분히 큰 $R$ 에 대해 $ m_{\text{BM}}^{g_\varepsilon}(S^{g_\varepsilon}(M\setminus W_R)) \leq \alpha $ 를 만족시키며, 이는 $\varepsilon$ 에 대해 균일하게 성립하며, 이는 측도 가중치의 약한-* 연속성을 암시한다.