[논문 리뷰] Regularity of the drift and entropy of random walks on groups

Lorenz A. Gilch, François Ledrappier|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 11.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 군, 특히 자유군, 자유곱, 하이퍼볼릭 군에서의 랜덤 워크에 대한 점점 커지는 엔트로피 $h_p$와 선형 드리프트 $\ell_p$의 규칙성을 조사한다. 변분 원리와 그로모프 경계에서의 경계 작용을 이용하여, 유한 지지에서 매개변수 $p$에 대해 $h_p$의 실해석적 성질과 $h_p$, $\ell_p$의 립시츠 연속성을 입증하며, 하이퍼볼릭 군에서 대칭 측도에 대해서는 더 강한 $C^1$ 정규성도 확보한다.

ABSTRACT

Random walks on a group $G$ model many natural phenomena. A random walk is defined by a probability measure $p$ on $G$. We are interested in asymptotic properties of the random walks and in particular in the linear drift and the asymptotic entropy. If the geometry of the group is rich, then these numbers are both positive and the way of dependence on $p$ is itself a property of $G$. In this note, we review recent results about the regularity of the drift and the entropy for free groups, free products and hyperbolic groups.

연구 동기 및 목표

• 군에서의 랜덤 워크에 대한 점점 커지는 엔트로피 $h_p$와 선형 드리프트 $\ell_p$가 주어진 확률 측도 $p$에 어떻게 의존하는지 이해하는 것.
• 다양한 군의 유형에서 $h_p$와 $\ell_p$가 $p$의 함수로서 가지는 정규성(해석적, 립시츠, 또는 $C^1$)을 규명하는 것.
• 그로모프 경계 $\partial G$ 위의 정적 측도를 통한 $h_p$와 $\ell_p$의 변분 특성화를 확장하는 것.
• 비가역성 및 하이퍼볼릭 설정에서 $h_p$와 $\ell_p$가 매개변수 $p$에 대해 매끄럽게 변할 수 있는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 변분 원리의 사용: $h_p = \max \{ h_p(X,\nu) \}$, 여기서 $X$는 $G$-공간이고 $\nu$는 $p$-정적 측도이다.
• 경계 적분에 의한 $h_p$ 표현: $h_p = \sum_{g\in B} \int_{\partial G} \varphi_p(g,\xi) \, d\nu_p(\xi) \, p(g)$, 여기서 $\varphi_p(g,\xi)$는 부세만 코사이클이다.
• 경계 작용을 모델링하기 위해 보세만 콪팩티피케이션 $\overline{G}$ 과 호로함수 $\xi$ 를 적용한다.
• 무한원에서의 하르나크 부등식과 하이퍼볼릭성으로 $\varphi_p$와 $\nu_p$의 정규성을 통제한다.
• 그린 거리와 그의 하이퍼볼릭성으로 측도와 코사이클의 미분 가능성을 입증한다.
• 킹먼의 가역적 에르고딕 정리의 적용을 통해 $\ell_p$와 $h_p$의 극한으로서 존재성을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유군에서 확률 측도 $p$에 따라 점점 커지는 엔트로피 $h_p$는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 유한 지지에서 하이퍼볼릭 군에 대해 선형 드리프트 $\ell_p$는 $p$에 대해 실해석적인가?
• RQ3 코컴팩트 푸앵카레 군에서 $h_p$와 $\ell_p$에 대해 어떤 정규성 성질(해석적, 립시츠, $C^1$)이 성립하는가?
• RQ4 하이퍼볼릭 군에서 대칭 측도에 대해 $p \mapsto h_p$가 $C^1$-스무스함을 입증할 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{P}^1(G)$ 공간에서의 전체 측도 공간에서 $h_p$의 정규성은 어떠한가?

주요 결과

• 유한 지지 $B$를 가진 자유군에 대해, $p \mapsto h_p$는 $\mathcal{P}(B)$ 위에서 실해석적이다.
• 평면 표현을 가진 코컴팩트 푸앵카레 군에 대해, $p \mapsto \ell_p$는 $\mathcal{P}(B)$ 위에서 실해석적이다.
• 일반적인 하이퍼볼릭 군에 대해 유한 지지에서, $p \mapsto h_p$와 $p \mapsto \ell_p$는 $\mathcal{P}(B)$ 위에서 립시츠 연속적이다.
• 하이퍼볼릭 군에서 대칭 측도에 대해, $p \mapsto h_p$는 공간 $\mathcal{P}_\sigma(B)$ 위에서 $C^1$-스무스하다.
• $h_p$의 미분은 $\varphi_p(g,\xi)$와 $\nu_p$의 도함수를 포함하는 합으로 주어진다.
• $\lim_{\lambda \to 0} \frac{1}{\lambda} \sum_{g\in B} \int (\varphi_{p_\lambda}(g,\xi) - \varphi_{p_0}(g,\xi)) \, d\nu_{p_\lambda}(\xi) \, p_\lambda(g) = 0$ 이며, 이는 $C^1$-정규성의 핵심이다.